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DIFFÉRENTIATION

$\operatorname {d.Log} .x={\frac {C\operatorname {d} x}{x}}$

4.^o Soit à différentier $\operatorname {Sin} .x$ ?

Soit $\operatorname {d.Sin} .x=\varphi (x)\operatorname {d} x$ ; en différentiant l’équation $\operatorname {Sin} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}x=1\,;$ il vient $\operatorname {Sin} .x.\varphi (x).\operatorname {d} x+\operatorname {Cos} .x.\operatorname {d.Cos} .x=0\,;$ d’où $\operatorname {d.Cos} .x=-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x.$

D’un autre côté on a, par la définition de la fonction proposée,

$\operatorname {Sin} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\,;$ (4)

d’où on conclura, par la différentiation,

$\varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .y.\varphi (x)\operatorname {d} x-\operatorname {Sin} .x\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y)\operatorname {d} y\\+&\operatorname {Cos} .x.\varphi (y)\operatorname {d} y-\operatorname {Sin} .y\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x\\\end{aligned}}\right.$

ou

$\varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y)\operatorname {d} y\,;$

donc (Lemme I)

$\varphi (x+y)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y),$

ou

${\frac {\varphi (x)}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {\varphi (y)}{\operatorname {Cos} .y}},$

donc (Lemme II) ${\frac {\varphi (x)}{\operatorname {Cos} .x}}=C\,;$ donc $\varphi (x)=C\operatorname {d} x\cdot \operatorname {Cos} .x\,;$ donc enfin

$\operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x\cdot \operatorname {Cos} .x\,;$

et, puisqu’on a

$\operatorname {d.Cos} .x=-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x,$

il viendra en outre

$\operatorname {d.Cos} .x=-C\operatorname {d.Sin} .x.$

Il reste maintenant à déterminer les constantes qui entrent dans ces différentielles.