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DES FONCTIONS.

on a donc, par le Lemme II, $+{\frac {\varphi (x)}{x^{m-1}}}=C;$ donc $\varphi (x)=Cx^{m-1}$ par conséquent,

$\operatorname {d} x^{m}=Cx^{m-1}\cdot \operatorname {d} x$

2.^o Soit à différentier $a^{x}$ ?

En supposant encore $y$ quelconque et indépendante de $x,$ on aura

$a^{x+y}=a^{x}.a^{y}.$ (2)

Soit $\varphi (x)\operatorname {d} x$ la différentielle de $a^{x}$ ; il viendra, en différentiant l’équation (2),

$\varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)=a^{y}\varphi (x)\operatorname {d} x+a^{x}\varphi (y)\operatorname {d} y\,$

d’où nous tirerons, par le Lemme I,

$\varphi (x+y)=a^{y}\varphi (x),\quad \varphi (x+y)=a^{x}\varphi (y)$

donc

$a\varphi (x)=a^{x}\varphi (y),{\text{ ou }}{\frac {\varphi (x)}{a^{x}}}={\frac {\varphi (y)}{a^{y}}}\,;$

et, par le Lemme II, ${\frac {\varphi (x)}{a^{x}}}=C$ ; donc $\varphi [x)=Ca^{x},$ et par conséquent

$\operatorname {d} .a^{x}=Ca^{x}\operatorname {d} x.$

3.^o Soit à différentier $\operatorname {Log} .x,$ pour un système quelconque ?

On aura par la définition de la fonction proposée,

$\operatorname {Log} .(xy)=\operatorname {Log} .x+\operatorname {Log} .y.$ (3)

Soit $\varphi (x)\operatorname {d} x$ la différentielle de $\operatorname {Log} .x$ ; il viendra en différentiant l’équation (3)

$\varphi (xy)(y\operatorname {d} x+x\operatorname {d} y)=\varphi (x)\operatorname {d} x+\varphi (y)\operatorname {d} y\,$

donc (Lemme I)

$y\varphi (xy)=\varphi (x),\quad x\varphi (xy)=\varphi (y)\,;$

d’où

$x\varphi (x)=y\varphi (y)\,;$

donc (Lemme II) $x\varphi (x)=C,{\text{ ou }}\varphi (x)={\frac {C}{x}}$ et par conséquent