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RÉSOLUES.

${\tfrac {1}{2}}a,\;a+{\tfrac {1}{2}}b,\;a+b+{\tfrac {1}{2}}c,\;a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d,$ en tournant toujours dans le même sens.

Sur les droites $\mathrm {S} b,\mathrm {S} c,\mathrm {S} d,$ soient faits les angles $b\mathrm {SB} ,c\mathrm {SC} ,d\mathrm {SD}$ respectivement égaux aux angles $\mathrm {B,B+C,B+C+D,}$ en tournant toujours dans un même sens, opposé au premier.

Sur les droites $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ soient prises des longueurs $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ respectivement égales à $\mathrm {AB} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}a,\mathrm {BC} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}b,$$\mathrm {CD} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}c,\mathrm {DA} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}d$.

Soit cherché le centre $\mathrm {Z}$ des moyennes distances des extrémités $\mathrm {A,B,C,D}$ de ces droites. Du point $\mathrm {Z}$ comme centre, avec un rayon égal au quart du contour donné, soit décrit un cercle. Du point $\mathrm {S}$ soit menée (s’il y a lieu) une tangente à ce cercle. L’angle formé par cette tangente et par la droite $\mathrm {SE}$ est l’angle cherché $x.$

Remarque. Le contour donné ne doit pas être plus grand que le quadruple de $\mathrm {SZ.}$ Lorsque le quart du contour donné est plus petit que $\mathrm {SZ,}$ le problème proposé a deux solutions. Pour que ce problème soit déterminé, le centre $\mathrm {Z}$ doit être différent du point $\mathrm {S.}$

PROBLEME II. On donne la surface du polygone demandé.

D’après les formules ci-dessus et l’expression connue de la surface d’un triangle dans deux de ses côtés et l’angle qu’ils comprennent, on a

${\begin{aligned}&4\mathrm {A} a\mathrm {B} =2\mathrm {AB^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .x\cdot \operatorname {Sin} .(a+x)}{\operatorname {Sin} .a}},\\&4\mathrm {B} b\mathrm {C} =2\mathrm {BC^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .(a-\mathrm {B} +x)\cdot \operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B} +x)}{\operatorname {Sin} .b}}\\&4\mathrm {C} c\mathrm {D} =2\mathrm {CD^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B-C} +x)\cdot \operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C} +x)}{\operatorname {Sin} .c}}\\&4\mathrm {D} d\mathrm {A} =2\mathrm {DA^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C-D} +x)\cdot \operatorname {Sin} .(a+b+c+d-\mathrm {B-C-D} +x)}{\operatorname {Sin} .d}}\,;\\\end{aligned}}$

En ajoutant ces équations, membre à membre, ajoutant aux deux membres de l’équation résultante le quadruple de la surface du polygone $\mathrm {ABCD,}$ et remarquant qu’en géneral

${\tfrac {\operatorname {Sin} .z+\operatorname {Sin} .(k+z)}{\operatorname {Sin} .k}}={\tfrac {\operatorname {Cos} .k-\operatorname {Cos} .2\left({\tfrac {1}{2}}k+z\right)}{2\operatorname {Sin} .k}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cot} .k-{\tfrac {\operatorname {Cos} .2\left({\tfrac {1}{2}}k+z\right)}{2\operatorname {Sin} .k}},$