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RÉSOLUES.

deux diagonales, plus le quadruple du quarré de la droite qui joint les milieux de ces diagonales.^[1]

Supposant ensuite que le quadrilatère est plan, formant le quadrilatère complet, et appliquait le théorème à chacun des quadrilatères simples qui le composent, M. Legrand parvient aux deux théorèmes que voici :

1.^o Dans tout quadrilatère complet, la somme des quarrés des trois diagonales est égale à la somme des quarrés des six droites qui joignent les milieux des côtés opposés, dans les trois quadrilatères simples qui le composent.

2.^o Dans tout quadrilatère complet, la somme des quarrés des douze côtés des trois quadrilatères simples qui le composent est égale au double de la somme des quarrés des trois diagonales, plus le quadruple de la somme des quarrés des trois distances des milieux de ces diagonales, pris deux à deux.

M. Penjon, professeur au lycée d’Angers, a démontré la proposition comme il suit :

Tout étant d’ailleurs dans la figure 16 comme dans la figure 15, soient menées $\mathrm {NA}$ et $\mathrm {NB}$ ; par un théorème connu^[2] les triangles $\mathrm {ANB,CAD,DBC}$ donneront

$\mathrm {2\left({\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}\right)={\overline {AB}}^{2}+4{\overline {NQ}}^{2},}$

$\mathrm {2\left({\overline {AC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\right)={\overline {CD}}^{2}+4{\overline {NA}}^{2},}$

$\mathrm {2\left({\overline {BD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\right)={\overline {CD}}^{2}+4{\overline {NB}}^{2},}$

Ajoutant les deux dernières équations au double de la première, il viendra, en réduisant, transposant et divisant par 2

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=4{\overline {NQ}}^{2}+\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}\right)-\left({\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\right)\,;}$

c’est-à-dire : Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés des deux diagonales est égale à quatre fois le quarré

1. Voyez le tome 1.^er des Annales, page 358.
2. Voyez la même page.