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QUESTIONS

leurs aires sera celle de la progression décroissante $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+$ $\ldots =2\,;$ il remarque que la même proposition a encore lieu si la première figure, au lieu d’être un parallélogramme, est un quadrilatère quelconque.

M. Legrand remarque d’abord qu’en prenant le mot quadrilatère dans le sens le plus général, on peut, dans un quadrilatère plan ou gauche, considérer les deux diagonales comme deux côtés opposés, et vice versa ; si donc $R$ et $\mathrm {S}$ sont les milieux des diagonales $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {AC,}$ (fig. 17) on devra avoir, en vertu du théorème démontré,

\mathrm {{\overline {DB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}\right),}

\mathrm {{\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}=2\left({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}\right),}

\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}=2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}\right)\,;}

ce qui donne, en ajoutant,

\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}=4\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}\right)\,;}

c’est-à-dire : Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme de quarrés tant des côtés que des diagonales est quadruple de la somme des quarrés des droites qui joignent tant les milieux des côtés opposés que ceux des diagonales.

Ou autrement : Dans tout tétraèdre, la somme des quarrés des six arêtes est quadruple de la somme des quarrés des trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées.^[1]

Si de la somme des deux dernières équations on retranche la première, il vient, en transposant

\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4{\overline {RS}}^{2}} \,;

c’est-à-dire : Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés des quatre côtés est égale à la somme des quarrés des

↑ Voyez la page 358 du tome 1.^er des Annales.

[1] Voyez la page 358 du tome 1.^er des Annales.

[1]