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RÉSOLUES.

On sait^[1] qu’un quadrilatère, plan ou gauche, étant donné, si l’on en construit un autre dont les sommets soient les milieux des côtés du premier, ce dernier sera un parallélogramme dont les côtés opposés seront parallèles aux diagonales du quadrilatère donné, et en seront respectivement les moitiés.

Il est connu d’ailleurs^[2] que, dans tout parallélogramme, la somme des quarrés des deux diagonales est égale à la somme des quarrés des quatre côtés.

Soit donc $\mathrm {ABCD}$ (fig. 15) un quadrilatère, plan ou gauche, et soient $\mathrm {M,N,P,Q,}$ les milieux respectifs de $\mathrm {DA,CD,BC}$ et $\mathrm {AB}$ ; par la première proposition on aura

$\mathrm {AC=2MN,\quad BD=2NP,}$

$\mathrm {AC=2PQ,\quad BD=2MQ\,;}$

on aura donc, en quarrant, ajoutant et divisant par 2,

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=2\left({\overline {MN}}^{2}+{\overline {NP}}^{2}+{\overline {PQ}}^{2}+{\overline {QM}}^{2}\right)\,;}$

mais, par la seconde proposition, on a

$\mathrm {2\left({\overline {MN}}^{2}+{\overline {NP}}^{2}+{\overline {PQ}}^{2}+{\overline {QM}}^{2}\right)=2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}\right)\,;}$

donc

$\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}==2\left({\overline {MP}}^{2}+{\overline {NQ}}^{2}\right).}$

M. Encontre remarque, à ce sujet, que tout parallélogramme inscriptible au cercle est nécessairement un rectangle, puisque les deux diagonales se coupant en deux parties égales sont nécessairement des diamètres et qu’ainsi ses angles se trouvent inscrits au demi-cercle.

M. Ferriot observe que, si l’on conçoit une suite de parallélogrammes tels que les sommets de chacun soient les milieux des côtés du précédent, et qu’on désigne par 1 l’aire du premier, la somme de

1. Voyez le tome 1.^er des Annales, page 353.
2. Voyez le corollaire de la proposition xiv du livre iii de la Géométrie de M. Legendre.