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QUESTIONS

portion interceptée entre les deux circonférences doit être égale à $\mathrm {AB}$, ce qui fournit déjà deux solutions du problème : cette observation a été également faite par MM. Vecten, Rochat et Fauquier. M. Vecten a remarqué de plus que les arcs capables des angles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ pouvaient être indifféremment décrits de l’un ou de l’autre côté de $ca$ et $cb$, ou, ce qui revient au même, qu’on pouvait décrire d’un même côté de ces droites, des arcs capables tant des angles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ que des supplémens de ces angles, ce qui donne lieu à quatre solutions du problème. À la vérité, les deux arcs décrits sur $ca$ peuvent être combinés avec les deux arcs décrits sur $cb$ de quatre manières différentes, ce qui semblerait devoir conduire à huit solutions du problème ; mais il est facile de se convaincre que des quatre combinaisons dont ces arcs sont susceptibles, il n’y en a que deux seulement qui donnent un triangle égal au triangle $\mathrm {ABC}$. Les deux autres donnent un triangle dont un côté est égal au côté $\mathrm {AB}$ de ce triangle, et dont un des angles adjacens est égal à un des angles $\mathrm {A,B}$, mais dont le second est supplément de l’autre. La figure, représente les quatre solutions indiquées par M. Vecten ; on y a ponctué de la même manière les cercles qui doivent être combinés ensemble ; $\beta ,\beta '$ sont les centres de ceux qui sont décrits sur $ac$, et $\alpha ,\alpha '$ sont les centres de ceux qui sont décrits sur $bc$, de manière que les centres des cercles à combiner sont $\alpha \beta ,\alpha '\beta '.$

M. Vecten a soin de remarquer que le problème ne peut avoir quatre solutions qu’autant que la moitié du côté donné $\mathrm {AB}$ sera moindre que la plus petite des deux distances $\alpha \beta ,\alpha '\beta '~;$ que si elle est égale à cette distance, le nombre des solutions se réduira à trois ; qu’il n’y en aura que deux si ${\text{½}}\mathrm {AB}$ se trouve compris entre $\alpha \beta ,\alpha '\beta '~;$ qu’il n’y en aura qu’une seule si ${\text{½}}\mathrm {AB}$ se trouve égal à la plus grande de ces deux distances ; et qu’enfin le problème sera impossible s’il la surpasse,

M. Rochat, en considérant que l’arc capable de l’angle $\mathrm {C}$, construit sur la troisième distance $ab$, doit couper les deux premiers au même point, a déduit de cette observation les deux théorèmes suivans :

1. Trois points $a,b,c,$ étant pris respectivement d’une manière arbitraire sur les côtés $\mathrm {BC,CA,AB}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$, si l’on