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QUESTIONS

Présentement, en faisant $\mathrm {AA''} =x,\mathrm {BB''} =y,$ les triangles rectangles $\mathrm {AA''C}$ et $\mathrm {BB''C} ,$ et le quadrilatère bi-rectangle $\mathrm {AA''B''B}$ donneront

$x^{2}=a^{2}-\lambda ^{2}a'^{2},\quad y^{2}=b^{2}-\lambda ^{2}b'^{2},$

$(x-y)^{2}=c^{2}-\lambda ^{2}c'^{2}\,;$

La dernière de ces équations étant retranchée de la somme de deux autres, il viendra

$2xy=a^{2}+b^{2}-c^{2}-\lambda ^{2}(a'^{2}+b'^{2}-c'^{2})=2ab\operatorname {Cos} .\gamma -2\lambda ^{2}a'b'\operatorname {Cos} .\gamma '\,;$

ou en divisant par 2 et quarrant

$x^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma -2\gamma ^{2}aba'b'\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '+\lambda ^{4}a'^{2}b'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \,;$

égalant cette valeur de $x^{2}y^{2}$ à celle qui résulte de la multiplication des deux premières équations, en changeant les cosinus en sinus, il viendra

$\lambda ^{4}a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -\left(a^{2}b'^{2}-2aa'bb'\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '+a'^{2}b^{2}\right)\lambda ^{2}+a^{2}b^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =0\,;$

substituant enfin pour $\lambda ^{2}$ sa valeur donnée par l’équation (1), on aura

$a^{2}a'b^{2}b'\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Sin} .\gamma '\operatorname {Cos} .^{2}\theta -ab\left(a^{2}b'^{2}-2aa'bb'\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '+a'^{2}b^{2}\right)\operatorname {Cos} .\theta$

$+a^{2}a'b^{2}b'\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Sin} .\gamma '=0.$

Cette équation donnera, étant résolue, la valeur de $\operatorname {Cos} .\theta .$^[1] d’où

1. En posant, pour abréger,
   $a^{2}b'^{2}-2aa'bb'\operatorname {Cos} .(\gamma +\gamma ')+a'^{2}b^{2}=M^{2},$
   $a^{2}b'^{2}-2aa'bb'\operatorname {Cos} .(\gamma -\gamma ')+a'^{2}b^{2}=N^{2}\,;$

   d’où

   $a^{2}b'^{2}-2aa'bb'\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '+a'^{2}b^{2}={\tfrac {1}{2}}\left(M^{2}+N^{2}\right),$
   $2aa'bb'\operatorname {Sin} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma ={\tfrac {1}{2}}\left(M^{2}-N^{2}\right)\,;$

   les valeurs de $\operatorname {Cos} .\theta$ prendront cette forme très-simple

   $\operatorname {Cos} .\theta ={\frac {(M\pm N)^{2}}{M^{2}-N^{2}}}={\frac {(M\pm N)}{M\mp N}}\,;$

   or, comme l’adoption des signes supérieurs conduirait à l’absurdité $\operatorname {Cos} .\theta >1,$ il faudra simplement écrire

   $\operatorname {Cos} .\theta ={\frac {(M-N)}{M+N}}\,;$

   ce qui fournit cette construction très-remarquable ;