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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On a

$\operatorname {Sin} .\mathrm {ACB} =\operatorname {Sin} .(\mathrm {BAC+CBA} )=\alpha {\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}=\mathrm {P} ,$

$\operatorname {Sin} .\mathrm {ADB} =\operatorname {Sin} .(\mathrm {BAD+DBA} )=\beta {\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}=\mathrm {Q} \,;$

en faisant donc entrer $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ dans le calcul, nous n’introduirons pas de nouvelles inconnues.

V. D’après cela on a

$\mathrm {AF={\frac {\operatorname {Sin} .ABF}{AB}}} =y,\qquad \operatorname {Sin} .\mathrm {FA} f={\frac {\mathrm {F} f}{\mathrm {AF} }}={\frac {x}{y}},$

$\operatorname {Cos} .\mathrm {FA} f={\frac {1}{y}}{\sqrt {y^{2}-x^{2}}},\qquad \mathrm {AC} ={\frac {\mathrm {AF} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {ACF} }}={\frac {y}{\mathrm {P} }},$

$\mathrm {A} c={\sqrt {\mathrm {AC^{2}-C} c^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {P} }}{\sqrt {y^{2}-\mathrm {P^{2}} x^{2}}},$

$\mathrm {AD} ={\frac {\mathrm {AF} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {ADF} }}={\frac {y}{\mathrm {Q} }},\qquad \mathrm {A} b={\sqrt {1-x^{2}}},$

$\mathrm {A} d={\sqrt {\mathrm {AD^{2}-D} d^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\sqrt {y^{2}-\mathrm {Q^{2}} x^{2}}}.$

VI. Il ne s’agit plus maintenant que de trouver deux équations entre les deux inconnues $x$ et $y.$ Or, on sait que les aires des triangles $\mathrm {BAC,BAD}$ multipliées par le cosinus de l’angle $\mathrm {FA} f$ doivent donner pour produits les aires des triangles $b\mathrm {A} c,b\mathrm {A} d$ ; on sait d’ailleurs que

${\begin{aligned}\mathrm {BAC} &={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} \times \mathrm {AC} \times \operatorname {Sin} .\mathrm {BAC} ,\\b\mathrm {A} c&={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} b\times \mathrm {A} c\times \operatorname {Sin} .b\mathrm {A} c,\\\mathrm {BAD} &={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB\times AD} \times \operatorname {Sin} .\mathrm {BAD} ,\\b\mathrm {A} d&={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} b\times \mathrm {A} d\times \operatorname {Sin} .b\mathrm {A} d,\\\end{aligned}}$

donc

$\alpha {\sqrt {y^{2}-x^{2}}}=\delta {\sqrt {1-x^{2}}}.{\sqrt {y^{2}-\mathrm {P^{2}} x^{2}}},$

$\beta {\sqrt {y^{2}-x^{2}}}=\delta {\sqrt {1-x^{2}}}.{\sqrt {y^{2}-\mathrm {Q^{2}} x^{2}}}.$

On peut simplifier ces équations ; mais l’équation finale à laquelle on parviendra, en éliminant, sera nécessairement très-compliquée.