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QUESTIONS

en $\mathrm {Y}$ la circonférence de ce cercle ; on aura $l^{2}-\mathrm {BX^{2}=XY^{2}} \,;$ donc

$b\mathrm {X:A} b=\mathrm {XY:BX} ,$

d’où$\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {A} b\times \mathrm {XY} =b\mathrm {X\times BX} \,;$

donc le point $\mathrm {Y}$ est à une parabole dont $\mathrm {B} b$ est une double coordonnée de l’axe, et dont le paramètre est la perpendiculaire $\mathrm {A} b.$

Remarque. La parabole qui passe par le centre $\mathrm {B}$ du cercle dont le rayon est $l,$ coupe toujours en deux points, au moins, la circonférence de ce cercle ; mais elle peut aussi couper cette circonférence en deux autres points, ou la toucher en un point ou ne la rencontrer en aucun autre point. Au cas du contact répond une limite, en petitesse, du rectangle proposé. Comme ce problème est seulement accessoire au but principal de ce mémoire, je ne crois pas devoir insister sur la discussion de ces différens cas.

Ce dernier problème, envisagé algébriquement, conduit à une équation du quatrième degré,

Soit $\mathrm {AB} =a,$ et que l’angle $\mathrm {B}$ soit désigné par $\phi .$ Soit $\mathrm {BX} =x,$ le rectangle donné est $x{\sqrt {x^{2}-2ax\operatorname {Cos} .\phi +a^{2}}}\,;$ que ce rectangle soit $p^{2},$ on a l’équation

$x^{4}-2ax^{3}\operatorname {Cos} .\phi +a^{2}x^{2}-p^{4}=0\,;$

cette équation a au moins deux racines réelles.

Deuxième solution ;

Par M. D. Encontre, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Montpellier ;

I. Soit $\mathrm {ABC}$ (fig. 7) le triangle qu’il s’agit de projeter, ses projections sur tous les plans parallèles à celui sur lequel on le projetera seront toutes égales. Nous pouvons donc supposer que le plan de projection passe par tel point qu’il nous plaira de choisir ; et nous choisirons le point $\mathrm {A.}$