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QUESTIONS

$p(x-a)=-q(x-b),$

$p(x-b)=-q(x-c)\,;$

équations qui, étant divisées membre à membre, donneront

${\frac {x-a}{x-b}}={\frac {x-b}{x-c}}{\text{ d’où }}x={\frac {b^{2}-ac}{2b-(a+c)}}$

expression facile a construire.

Pour plus de simplicité, on peut prendre pour le point arbitraire $A$ le point $S$ lui-même ; on a alors $a=0,$ et par conséquent

$x={\frac {b^{2}}{2b-c}},$

ce qui réduit la solution du problème à la recherche d’une troisième proportionnelle à deux lignes données.

Supposons qu’on ait pris $a<x,$ il est facile de se convaincre que le nombre des côtés du polygone étant impair, on aura $b>x$ et $c<x$ ; on aura donc aussi $a<b,\ c<b$ d’où $a+c<2b$ ; ainsi, dans ce cas, le dénominateur de la valeur de $x$ ne pouvant devenir nul, le problème sera toujours possible.

Mais, $a$ étant toujours pris $<x,$ si le nombre des côtés du polygone est pair, on aura $a<x,\ b<x,\ c<x,$ et il pourra fort bien arriver qu’on ait $a+c=2b,$ alors le problème sera impossible, à moins cependant qu’on ait, en outre, $ac=b^{2},$ auquel cas le problème serait indéterminé ; or, des équations

$a+c=2b{\text{ et }}ac=b^{2},$

il est facile de conclure

$a=b=c\,;$

ainsi, dans le cas d’un nombre de côtés pair, on reconnaîtra que