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QUESTIONS

d’être mentionnée. Qu’on demande d’inscrire à un polygone donné un polygone de même nom dont le contour soit le plus petit ? il est aisé de démontrer que les deux côtés de chacun des angles du polygone cherché doivent faire des angles égaux avec le côté du polygone donné sur lequel est situé le sommet de cet angle^[1]. Si le polygone proposé a un nombre impair de côtés, ces angles sont déterminés par les angles du polygone proposé, et l’inscription demandée est unique et déterminée. Mais, si le polygone proposé a un nombre pair de côtés, pour que le problème soit possible, la somme des angles de rang pair du polygone proposé, à partir de l’un quelconque, doit être égale à la somme de ses angles de rang impair^[2].

Cette égalité étant supposée, le nombre des polygones à inscrire est illimité ; et ils ont tous le même plus petit contour. Cette application remarquable fait l’objet d’une dissertation qui est à la suite de mon ouvrage intitulé : De relatione mutua capacitatis et terminorum figurarum.

↑ Voyez le tome 1 des Annales, page 375, lemme I.
↑ Cette proposition revient à la suivante : si entre $n$ inconnues $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots x_{n-1},x_{n}$ , on a $n$ équations de la forme
${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=\mathrm {A_{1}} \\x_{2}+x_{3}&=\mathrm {A_{2}} \\\ldots \ldots &\ldots \\x_{n-1}+x_{n}&=\mathrm {A_{n-1}} \\x_{n}+x_{1}&=\mathrm {A_{n}} \\\end{aligned}}$

et que $n$ soit un nombre impair, ces inconnues seront déterminées. Si, au contraire, $n$ est pair, le problème ne sera possible que sous certaine relation entre les données ; relation qui, si elle a lieu, rendra ce problème indéterminé.

On a, en effet, 1.^o dans le cas de $n$ impair

$\mathrm {(A_{1}+A_{3}+\ldots +A_{n})-(A_{2}+A_{4}+\ldots +A_{n-1})=2x_{1}\,;}$

2.^o Dans le cas de $n$ pair.

$\mathrm {(A_{1}+A_{3}+\ldots +A_{n-1})-(A_{2}+A_{4}+\ldots +A_{n})=0}$

équation de condition qui, suivant quelle aura ou n’aura pas lieu, rendra le problème indéterminé ou impossible.

(Note des éditeurs.)

[1] Voyez le tome 1 des Annales, page 375, lemme I.

[2] Cette proposition revient à la suivante : si entre $n$ inconnues $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots x_{n-1},x_{n}$ , on a $n$ équations de la forme
${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=\mathrm {A_{1}} \\x_{2}+x_{3}&=\mathrm {A_{2}} \\\ldots \ldots &\ldots \\x_{n-1}+x_{n}&=\mathrm {A_{n-1}} \\x_{n}+x_{1}&=\mathrm {A_{n}} \\\end{aligned}}$

et que $n$ soit un nombre impair, ces inconnues seront déterminées. Si, au contraire, $n$ est pair, le problème ne sera possible que sous certaine relation entre les données ; relation qui, si elle a lieu, rendra ce problème indéterminé.

On a, en effet, 1.^o dans le cas de $n$ impair

$\mathrm {(A_{1}+A_{3}+\ldots +A_{n})-(A_{2}+A_{4}+\ldots +A_{n-1})=2x_{1}\,;}$

2.^o Dans le cas de $n$ pair.

$\mathrm {(A_{1}+A_{3}+\ldots +A_{n-1})-(A_{2}+A_{4}+\ldots +A_{n})=0}$

équation de condition qui, suivant quelle aura ou n’aura pas lieu, rendra le problème indéterminé ou impossible.

(Note des éditeurs.)

[1]

[2]