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SPHÉRIQUE.

l’angle opposé à l’un d’eux ? (lorsqu’il est possible et déterminé) a toujours deux solutions, en tant qu’on prend le mot inclinaison dans son acception générale, et qu’on se réserve de lever le doute si cette inclinaison est aiguë ou obtuse, d’après la relation des deux côtés qui fournit une raison déterminante pour lever ce doute.

On a coutume de donner pour raison trigonométrique de l’indétermination du triangle proposé la double valeur d’un angle donné seulement par son sinus, en tant que l’angle $\mathrm {C}$ est déterminé par la proportion $\mathrm {\operatorname {Sin} .BC:\operatorname {Sin} .AB} =$ $\mathrm {\operatorname {Sin} .A:\operatorname {Sin} .C}$ ; cette raison s’applique seulement aux deux premiers cas, dans lesquels les angles $\mathrm {A}$ de chacun des triangles $\mathrm {ABC,ABC'}$ sont l’un et l’autre aigus ou l’un et l’autre obtus ; mais elle ne s’applique pas au troisième cas dans lequel les angles en $\mathrm {A}$ sont l’un aigu, dans l’un des triangles, et l’autre obtus, dans l’autre de ces triangles. Je pourrais aussi, pour soutenir mon opinion, m’appuyer sur cette proposition : le sinus de $\mathrm {A}$ est le même pour deux valeurs de $\mathrm {A}$ dont l’une est le supplément de l’autre.

La véritable raison de la double solution du problème proposé me paraît être la possibilité de mener deux arcs obliques, égaux entre eux à la circonférence d’un grand cercle, depuis un point qui n’est pas le pôle de ce cercle.

En admettant, dans tous les cas, la double solution du problème proposé (du moins lorsqu’il est déterminé possible et hors de la limite), on lève l’anomalie de regarder un problème du second degré (lorsqu’il est possible) comme ayant tantôt deux solutions, tantôt une seule, et même comme pouvant n’en avoir aucune.^[1]

↑ Ce qu’on peut conclure de tout ceci, c’est que, pour s’exprimer d’une manière convenable, il faut dire que le problème ou il s’agit de déterminer un triangle sphérique par la connaissance de deux de ses côtés et de l’angle opposé à l’un d’eux, considéré d’une manière abstraite, admet toujours deux solutions ; mais que souvent, par les circonstances de la question dont on s’occupe, une de ces solutions et même toutes les deux doivent être rejetées. La même remarque s’applique au cas où il s’agit de déterminer le triangle par la connaissance de deux de ses angles et du côté opposé à l’un d’eux.
(Note des éditeurs.)

[1] Ce qu’on peut conclure de tout ceci, c’est que, pour s’exprimer d’une manière convenable, il faut dire que le problème ou il s’agit de déterminer un triangle sphérique par la connaissance de deux de ses côtés et de l’angle opposé à l’un d’eux, considéré d’une manière abstraite, admet toujours deux solutions ; mais que souvent, par les circonstances de la question dont on s’occupe, une de ces solutions et même toutes les deux doivent être rejetées. La même remarque s’applique au cas où il s’agit de déterminer le triangle par la connaissance de deux de ses angles et du côté opposé à l’un d’eux.
(Note des éditeurs.)

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