Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/273

261

SPHÉRIQUE.

de $\mathrm {BD}$ qui passe par ce pôle ; j’affirme que l’on a $\mathrm {BD<BC}$ et $\mathrm {BD'>BC}$.

Soit $\mathrm {BQ}$ une droite perpendiculaire au plan de la base de l’hémisphère ; et soient menées les droites $\mathrm {QC,QD,QD'}$.

On a, quel que soit le point $\mathrm {C,}$

$\mathrm {BC^{2}=BQ^{2}+QC^{2}.}$

Dans toutes les équations semblables, $\mathrm {BQ}$ est constant ; donc le carré de la corde $\mathrm {BC}$ croit avec le carré de $\mathrm {QC}$ ; mais $\mathrm {QD}$ est la plus petite et $\mathrm {QD'}$ la plus grande des droites $\mathrm {QC}$ ; donc aussi la corde $\mathrm {BD}$ est la plus petite, et la corde $\mathrm {BD'}$ la plus grande des cordes $\mathrm {BC}$ ; mais les arcs $\mathrm {BD,BD',BC}$ sont plus petits que la demi-circonférence ; donc aussi l’arc $\mathrm {BD}$ est le plus petit et l’arc $\mathrm {BD'}$ le plus grand de tous les arcs $\mathrm {BC}$. De plus, comme le carré de $\mathrm {QC}$ passe par tous les degrés de grandeur intermédiaires entre le carré de $\mathrm {QD}$ et le carré de $\mathrm {QD'}$, le carré de la corde $\mathrm {BC}$ passe aussi par tous les degrés de grandeur intermédiaires entre les carrés de $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {BD'}$, et partant aussi, les cordes $\mathrm {BC}$ et les arcs $\mathrm {BC}$ passent par tous les degrés de grandeur intermédiaires entre les cordes et les arcs $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {BD'}$.

En particulier, les arcs qui font avec l’arc $\mathrm {BD}$ ou $\mathrm {BD'}$ des angles égaux de part et d’autre de ces arcs, sont égaux entre eux.

Cela posé, soit$\mathrm {ABC}$ (fig.4) un triangle sphérique dont on connaît les côtés $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {BC}$ et l’un des angles en $\mathrm {A}$ opposé au côté $\mathrm {BC}$.

I. Que les côtés $\mathrm {AB,BC}$, soient tous deux des quadrans, le point $\mathrm {B}$ est le pôle de l’arc $\mathrm {AC}$ ; les angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ sont déterminés à être l’un et l’autre des angles droits ; le côté $\mathrm {AC}$ et l’angle $\mathrm {ABC}$ sont quelconques ; et le triangle $\mathrm {ABC}$ est indéterminé.

Réciproquement, que l’angle $\mathrm {A}$ soit droit et que sa jambe donnée $\mathrm {BA}$ soit un quadrans ; le côté $\mathrm {BC}$ est déterminé à être aussi un quadrans ; l’angle $\mathrm {C}$ est déterminé à être droit ; et le triangle est indéterminé.