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RÉSOLUES.

Soient $\mathrm {O}$, $\mathrm {O'}$ (fig. 3, 4, 5) les centres de deux cercles se coupant en $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$, et soit $\mathrm {AB}$ une droite donnée ; il s’agit de mener par le point $\mathrm {C}$ une droite $\mathrm {CA'}$, ou $\mathrm {CA''}$ de manière que sa partie $\mathrm {A'B'}$ ou $\mathrm {A''B''}$, interceptée entre les deux cercles soit égale à $\mathrm {AB}$.

Solution de M. Vecten.

Construction. À partir du centre $\mathrm {O}$ de l’un quelconque des deux cercles, (fig. 3) soit portée, sur la droite $\mathrm {OO'}$ qui joint ce centre au centre $\mathrm {O'}$ de l’autre cercle, une longueur $\mathrm {OE=AB}$ ; soient tirées $\mathrm {DO,DO'}$, et, par $\mathrm {E}$, soit menée à la première de ces deux droites une parallèle coupant la seconde en a ; du point $\mathrm {D}$ comme centre, et avec $\mathrm {Da}$ pour rayon, soit décrit un arc de cercle coupant en $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {A''}$ le cercle dont le centre est $\mathrm {O'}$ ; par ces points $\mathrm {A',A''}$, et par le point $\mathrm {C}$ soient menées des droites coupant en $\mathrm {B'}$ et $\mathrm {B''}$ le cercle dont le centre est $\mathrm {O}$ ; ces deux droites seront les droites cherchées, en sorte qu’on aura $\mathrm {A''B''=A'B'=AB}$.

Démonstration. Soient joints $\mathrm {DA',DB',DA'',DB'',}$ et par $a$ soit menée à $\mathrm {OO'}$ une parallèle coupant $\mathrm {DO}$ en $b.$ Les angles $\mathrm {DA'B',DA''B'',}$ ayant l’un et l’autre leurs sommets à la circonférence du cercle dont le centre est $\mathrm {O'}$, ont également pour mesure la moitié de l’arc $\mathrm {DA''C}$ ; ils sont donc égaux à $\mathrm {DO'O}$ et conséquemment à $\mathrm {D} ab$. Pareillement les angles $\mathrm {DB'A'}$, $\mathrm {DB''A'',}$ ayant l’un et l’autre leurs sommets à la circonférence du cercle dont le centre est $\mathrm {O}$, ont également pour mesure la moitié de l’arc $\mathrm {DB'C}$ ; ils sont donc égaux à $\mathrm {DOO'}$ et conséquemment à $\mathrm {D} ba$ ; les trois triangles $\mathrm {A'DB',A''DB''} ,a\mathrm {D} b,$ sont donc semblables ; ils sont de plus égaux, puisque, par construction, $\mathrm {DA'=DA''=Da}$ ; donc $\mathrm {A'B'=A''B''} =ab=\mathrm {OE=AB}$, ainsi qu’il était exigé.

Limite du problème. Les points $\mathrm {A',A'',}$ étant déterminés par l’intersection de la circonférence dont le centre est $\mathrm {O'}$ avec une circonférence décrite du point $\mathrm {D}$ comme centre et avec $\mathrm {Da}$ pour rayon, il s’ensuit que le problème ne sera possible qu’autant que ces