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RÉSOLUES.

2.^o à quelle époque l’eau aura atteint son maximum de hauteur dans le vase $\mathrm {V} '\,;$ 3.^o enfin quelle sera alors la hauteur du liquide dans ce vase.

2. Soit $z$ la hauteur du liquide dans le vase $\mathrm {V}$ à l’époque $t$ ; à l’époque $t+i$ cette hauteur sera

$dz+{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \,;\qquad \mathrm {(A)}$

elle aura donc diminué de la quantité

$-{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\frac {i}{1}}-{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}-\ldots \,;$

d’où il suit que le volume du liquide évacué durant l’intervalle de temps $i$ sera

$b\left(-{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\frac {i}{1}}-{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}-\ldots \right)\,;$

c’est-à-dire,

$-b{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\frac {i}{1}}-b{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}-\ldots \,;\qquad \mathrm {(B)}$

3. Présentement si, pendant l’intervalle de temps $i$, le liquide eût été constamment entretenu dans le vase $\mathrm {V}$ à la hauteur $z$, le volume d’eau évacué durant cet intervalle eût été

$vz{\frac {i}{1}}\,;\qquad \mathrm {(C)}$

et si, au contraire, le liquide eût constamment été, pendant le même temps, à la hauteur où il n’est parvenu qu’à l’époque $t+i,$ le volume de la partie évacuée durant le temps $i$ n’eût été que

$vi\left(z+{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots \right),$

c’est-à-dire,

$vz{\frac {i}{1}}+2v{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+3v{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {i^{3}}{1.2.3}}+\ldots .\qquad \mathrm {(D)}$

Or il est visible que l’on peut toujours supposer $i$ assez petit, sans