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OBLIQUITÉ

quité de l’écliptique. On aura, par la théorie des triangles sphériques rectangles,

$\operatorname {Sin} .a\operatorname {Tang} .\omega =\operatorname {Tang} .\delta ,\quad \operatorname {Sin} .a'\operatorname {Tang} .\omega =\operatorname {Tang} .\delta '\,;$

on aura de plus

$a'-a=\alpha '-\alpha ,{\text{ d’où }}a'=a+(\alpha '-\alpha ),$

et conséquemment

$\operatorname {Sin} .a'=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .(\alpha '-\alpha )+\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha ),$

substituant, dans cette équation, pour $\operatorname {Sin} .a$ et $\operatorname {Sin} .a'$ les valeurs que donnent les deux premières, elle deviendra, en transposant,

$\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )\operatorname {Cos} .a=\operatorname {Tang} .\delta '-\operatorname {Tang} .\delta \operatorname {Cos} .(\alpha '-\alpha )\,;$

mais la première des équations ci-dessus étant multipliée par $\operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )$ devient

$\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )\operatorname {Sin} .a=\operatorname {Tang} .\delta \operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )\,;$

ajoutant donc les quarrés de ces deux équations, et ayant égard à ce que

$\operatorname {Sin} .^{2}a+\operatorname {Cos} .^{2}a=1,\quad \operatorname {Sin} .^{2}(\alpha '-\alpha )+\operatorname {Cos} .^{2}(\alpha '-\alpha )=1,$

on en tirera

$\operatorname {Tang} .\omega ={\frac {\sqrt {\operatorname {Tang} .^{2}\delta '-2\operatorname {Tang} .\delta .\operatorname {Tang} .\delta '\operatorname {Cos} .(\alpha '-\alpha )+\operatorname {Tang} .^{2}\delta '}}{\operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )}}$

On calculera aisément le numérateur de cette valeur en considérant que c’est un côté d’un triangle rectiligne dont les deux autres sont $\operatorname {Tang} .\delta$ et $\operatorname {Tang} .\delta '$ et dont l’angle compris entre eux est $\alpha '-\alpha .$

Mais, quelque symétrique que soit cette formule, on préférera sans doute, pour le calcul par logarithmes, le procédé que voici : on posera d’abord

${\frac {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '+\delta )}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '-\delta )}}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha )=\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\theta '+\theta ),$

${\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '+\delta )}{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '-\delta )}}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha )=\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\theta '-\theta )\,;$