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ET MINIMIS.

élevée à $\mathrm {DE}$ une perpendiculaire rencontrant en $\mathrm {V}$ la circonférence de ce cercle ; on aura $\mathrm {EX\times DX=XV^{2}~;}$ substituant donc dans la proportion ci-dessus, elle deviendra

$\qquad \qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:\ CB\times BD=XV^{2}:DX^{2},}$

ou$\quad \qquad \qquad \mathrm {BX:\ {\sqrt {CB\times BD}}=XV:DX,}$

d’où$\qquad \qquad \ \ \mathrm {BX\times DX=XV{\sqrt {CB\times BD}}.}$

De là découle la construction suivante pour déterminer le point $\mathrm {X}$.

Soit $\mathrm {PB}$ parallèle à $\mathrm {CA'}$ rencontrant $\mathrm {CA}$ en $\mathrm {B}$ ; soit $\mathrm {PD}$ perpendiculaire à $\mathrm {CA}$ ; soit aussi $\mathrm {PD'}$ perpendiculaire à $\mathrm {CA'}$ et rencontrant $\mathrm {CA}$ en $\mathrm {E}$. Sur $\mathrm {DE}$ comme diamètre, soit décrit un cercle ; soit ensuite décrite la parabole qui est le lien géométrique de l’équation $\mathrm {BXD\times X=XV{\sqrt {CB\times BD}}~;}$ par le point $\mathrm {V}$ où cette parabole rencontre la circonférence du cercle soit abaissée une perpendiculaire $\mathrm {VX}$ sur $\mathrm {CA}$ ; alors le pied $\mathrm {X}$ de cette perpendiculaire sera le point cherché ; de manière qu’en menant par $\mathrm {X}$ et $\mathrm {P}$ une droite terminée en $\mathrm {X'}$ a $\mathrm {CA'}$, cette droite sera la plus petite de toutes celles qui, passant par $\mathrm {P}$ $\mathrm {P}$ se termineront à $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CA'}$.

Remarque I.^re L’équation $\mathrm {PX} \operatorname {Tang} .\mathrm {X'} =\mathrm {PX'} \operatorname {Tang} .\mathrm {X}$ devient indépendante de la nature des lignes entre lesquelles il faut inscrire la plus petite des droites qui passent par le point donné ; en substituant aux angles $\mathrm {X,X'}$ les angles que fait $\mathrm {XX'}$ avec les tangentes menées par les points $\mathrm {X,X'}$ aux courbes sur lesquelles ces points se trouvent situés.

Remarque II.^me Lorsque le point P est sur la droite qui coupe l’angle $\mathrm {ACA'}$ en deux parties égales, la plus petite des droites à inscrire est (comme il est connu) perpendiculaire à la droite $\mathrm {CP}$.

Remarque III.^me On pourrait obtenir le minimum proposé, en résolvant ce problème déterminé : Inscrire à un angle donné une droite d’une longueur donnée passant par un point donné ? et en cherchant les limites résultant de la construction. Or, ce problème déterminé