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TANGENTES

Si l’on suppose le produit $aa'$ constant et négatif, l’équation (M) sera

$y^{2}aa'x^{2}=B^{2}+aa'A^{2}\,;$

elle appartiendra donc à une ellipse concentrique à la première, dont les axes $2A',2B'$ auront même direction que les axes primitifs, et seront déterminés par les équations

$A'^{2}={\frac {B^{2}+aa'A^{2}}{aa'}},\quad B'^{2}=B^{2}+aa'A^{2}\,;$

en sorte que leur rapport sera

${\frac {B'}{A'}}={\sqrt {aa'}}.$

Si l’on suppose au contraire le produit $aa'$ constant, mais positif, l’équation (M) deviendra

$y^{2}-aa'x^{2}=B^{2}-aa'A^{2}\,;$

elle appartiendra donc alors à une hyperbole concentrique à l’ellipse proposée ; les axes $2A'$ et $2B'$ de cette hyperbole, qui auront encore même direction que les axes primitifs, seront déterminés par les équations

$A'^{2}=-{\frac {B^{2}-aa'A^{2}}{aa'}},\quad B'^{2}=B^{2}-aa'A^{2}\,;$

en sorte que leur rapport sera

${\frac {B'}{A'}}={\sqrt {aa'}}\,;$

et, suivant que $aa'$ sera plus grand ou plus petit que ${\frac {B^{2}}{A^{2}}},$ l’axe transverse de cette hyperbole sera dirigé suivant le grand ou le petit axe de l’ellipse.

Comme on parviendrait évidemment aux mêmes conséquences, en rapportant l’ellipse à son petit axe, on peut établir le théorème suivant :

THÉORÈME. Si deux droites touchant continuellement une même ellipse, se meuvent de manière que le produit des tangentes trigonométriques des angles qu’elles forment avec l’un des axes soit cons-