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TANGENTES AUX SECTIONS CONIQUES.

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Recherche de quelques propriétés des tangentes aux
sections coniques ;

Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.

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Soit $A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}=A^{2}B^{2}$ l’équation d’une ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; soient de plus

$y=ax+b,\quad y=a'x+b',$

les équations de deux droites quelconques.

Nous exprimerons que ces droites sont tangentes à l’ellipse, en écrivant

$A^{2}a^{2}+B^{2}=b^{2},\quad A^{2}a'^{2}+B^{2}=b'^{2},$

ou bien

$A^{2}a^{2}+B^{2}=y^{2}-2axy+a^{2}x^{2},$

$A^{2}a'^{2}+B^{2}=y^{2}-2a'xy+a'^{2}x^{2},$

ou encore,

$a^{2}+{\frac {2xy}{A^{2}-x^{2}}}a+{\frac {B^{2}-y^{2}}{A^{2}-x^{2}}}=0,$

$a'^{2}+{\frac {2xy}{A^{2}-x^{2}}}a'+{\frac {B^{2}-y^{2}}{A^{2}-x^{2}}}=0,$

d’où l’on voit que $a$ et $a'$ sont racines d’une même équation qui n’est autre que l’une des deux précédentes, et qu’ainsi on doit avoir

${\frac {B^{2}-y^{2}}{A^{2}-x^{2}}}=aa'.\qquad$(M)