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DES COURBES DU SECOND ORDRE.

dans lesquelles $\alpha$ et $\alpha '$ désignent respectivement les angles que font les axes de $x'$ et $y'$ avec l’axe des $x$, du côté des $x$ positifs, et où on a fait, pour abréger $\alpha '-\alpha =\theta .$

Effectuant donc le calcul que nous venons d’indiquer, et exprimant que l’équation résultante est identique avec l’équation (1), il viendra

$\left.{\begin{aligned}g\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +h\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '&=a\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\g\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +h\operatorname {Sin} .^{2}\alpha '&=c\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\g\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +h\operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha '&=-b\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\\end{aligned}}\right\}(3)$

De ces équations on déduit facilement, savoir : la valeur de la somme $g+h,$ en ajoutant les deux premières, et la valeur du produit $gh,$ en retranchant de leur produit le quarré de la troisième. Ces valeur sont

$\left.{\begin{aligned}g+h&=(a+c)\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\gh&=(ac-b^{2})\operatorname {Sin} .^{2}\theta ,\\\end{aligned}}\right\}(4)$

et par conséquent l’équation du second degré qui a pour racines $g$ et $h$ sera

$z^{2}-(a+c)z\operatorname {Sin} .^{2}\theta +(ac-b^{2})\operatorname {Sin} .^{2}\theta =0\,;\qquad$(5)

ses racines sont imaginaires lorsqu’on a

$(a+c)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\theta -4(ac-b^{2})<0,$

ce qui emporte la condition

$ac-b^{2}>0,$

et donne

$\operatorname {Sin} .^{2}\theta <{\frac {4(ac-b^{2})}{(a+c)^{2}}}\,;$

dans ce cas seulement l’équation (2) cesse de représenter les courbes comprises dans l’équation (1). Ainsi, la plus petite valeur que puisse atteindre $\operatorname {Sin} .\theta ,$ est donnée par l’équation

$\operatorname {Sin} .^{2}\theta ={\frac {4(ac-b^{2})}{(a+c)^{2}}}\,;$

alors les racines de l’équation (5) sont égales, c’est-à-dire, qu’on a