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PUISSANCES

d’où il suit que la formule

${\tfrac {1.2.3\ldots \ldots \ldots n}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots \times {\tfrac {m}{1}}\cdot {\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {m-n+1}{n}}a^{m-n}$

représentera généralement les quantités monomes qui doivent composer le $(n+1)$^eme terme da développement. Or, dans cette expression, le facteur

${\frac {m}{1}}\cdot {\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}a^{m-n},$

est constant, et son co-facteur

${\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots n}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,$

qui est variable, à cause des exposans variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$

est, d’après le précédent mémoire, le terme général du développement de $(b+c+d+\ldots )^{n}$ donc le $(n+1)$^eme terme du développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ sera

${\frac {m}{1}}\cdot {\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}(b+c+d+\ldots )^{n}a^{m-n},$

et conséquemment, en posant $b+c+d+\ldots =s,$ ce développement est

$a^{m}+{\frac {m}{1}}sa^{m-1}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}s^{2}a^{m-2}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}s^{3}a^{m-3}+\ldots$

comme il résulte d’ailleurs du développement de $(a+s)^{m},$ par la formule du binome.

5. Il résulte de ce que nous venons de dire, que, $m$ étant un nombre entier positif, le développement de $(a+b+c+\ldots )^{m}$, donné par la règle (3), revient à celui qu’on obtiendrait par l’application de la formule du binome ; puis donc qu’il est démontré que cette formule a lieu quel que soit l’exposant $m$, il parait légitime d’en conclure que la règle dont il s’agit, pourra également être appliquée quel que soit $m$, ce qui se vérifie, en effet, pour des cas particuliers.

6. Il suit de tout ce qui vient d’être dit 1.^o, que $p$, exprimant