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PROBLÈME DE MAXIMIS.

\operatorname {Lim} .\mathrm {X} 'x':\mathrm {Z} 'x'=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':1~;

donc

\qquad \qquad \operatorname {Lim} .\mathrm {X} z:\mathrm {Z} 'x'=\mathrm {PX} \cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':\mathrm {PX} '\cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} .

Donc, lorsque $\mathrm {XX} '$ est la plus petite, on doit avoir

\mathrm {PX} .\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\mathrm {PX} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ,

d’où

\qquad \qquad \mathrm {PX} :\mathrm {PX} '=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.

Par $\mathrm {P}$ soient menées à $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CA} '$ des parallèles rencontrant ces droites en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ ; et, par le même point soient menées aux mêmes droites des perpendiculaires les rencontrant en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} '$ ; on aura

\mathrm {PX} :\mathrm {PX} '::\mathrm {BX} :\mathrm {PB} '::\mathrm {BX} :\mathrm {CB} ~;

donc

\qquad \qquad \mathrm {BX} :\mathrm {CB} ::\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.

Premier cas. Que l’angle $\mathrm {C}$ soit droit, on aura

\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\operatorname {Cot} .\mathrm {X} \qquad et\qquad \mathrm {BX} =\mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} ~;

donc

\qquad \qquad \mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} :\mathrm {CB} =\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Cot} .\mathrm {X} ,

et par conséquent

{\frac {\mathrm {CB} }{\mathrm {BP} }}={\frac {\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {X} }{\operatorname {Tang} .\mathrm {X} }}=\operatorname {Cot} .^{3}\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {BX} ^{3}}{\mathrm {BP} ^{3}}}~;

donc

\mathrm {BX} ^{3}=\mathrm {CB} \cdot \mathrm {BP} ^{2}~;

on aura de même

\mathrm {B} '\mathrm {X} '^{3}=\mathrm {CB} '\cdot \mathrm {B} '\mathrm {P} ^{2}=\mathrm {BP} \cdot \mathrm {CB} ^{2}.

Le problème sera donc résolu puisque $\mathrm {BX}$ et $\mathrm {B'X} '$ seront donnés en fonctions de quantités connues, et on voit qu’il n’aura alors qu’une solution.

Deuxième cas. Que l’angle $\mathrm {C}$ ne soit pas droit. On parvient à une