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DES POLYNOMES.

II. Voilà pour le cas où toutes les $m$ lettres sont différentes les unes des autres. Concevons maintenant que plusieurs de ces lettres, au nombre

les nombres qui expriment combien avec les $m$ lettres données on peut former de mots dont le nombre des lettres soit

$1,2,3,\ldots n-2,n-1\,n;$

on aura évidemment $M_{1}=m.$ Concevons de plus que les mots de $n-1$ lettres soient déjà formés ; si l’on écrit successivement, à la droite de chacun, chacune des $m-(n-1)$ ou $m-n+1$ lettres qui ne s’y trouvent pas, on formera évidemment $m-n+1$ fois autant de mots de $n$ lettres chacun qu’on en avait d’abord de $n-1$ lettres. Je dis de plus qu’on formera ainsi tous les mots de $n$ lettres que peuvent fournir les lettres données, et qu’on ne formera chacun d’eux qu’une fois seulement.

Cette dernière assertion se prouve en faisant voir que, si l’on compose au hasard un mot de $n$ lettres, prises parmi les $m$ lettres données, ce mot doit se trouver, et se trouver une seule fois parmi ceux qu’on aura formé. Or, soit

$gla\ldots dhp,$

le mot de $n$ lettres dont il s’agit ; puisque, par l’hypothèse, on avait, une fois seulement, tous les mots de $n-1$ lettres, on devait avoir et n’avoir qu’une fois le mot

$gla\ldots dh,$

ne différant du précédent que par la suppression de la lettre $p$ ; puis donc qu’on a écrit, et qu’on n’a écrit qu’une seule fois à la droite de chacun, chacune des lettres qui n’y entrait pas, on a du écrire, et n’écrire qu’une fois la lettre $p$ à la droite de ce dernier ; on a donc formé l’autre, et on ne l’a formé qu’une seule fois.

D’après ce qui précède, on doit avoir, entre $M_{n}$ et $M_{n-1}$, la relation suivante :

$M_{n}=(m-n+1)M_{n-1}\,;$

et, comme cette relation est indépendante de la grandeur de $n$, on pourra écrire successivement

${\begin{aligned}M_{n}&=(m-n+1)M_{n-1},\\M_{n-1}&=(m-n+2)M_{n-2},\\\ldots &\ldots \ldots ,\\M_{2}&=(m-1)M_{1},\\M_{1}&=m\,;\\\end{aligned}}$