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PUISSANCES

les nombres qui expriment combien on peut faire de mots au moyen des divers arrangemens de différentes lettres au nombre de

$m,m-1,m-2,\ldots 3,2,1\,;$

on aura évidemment $M_{1}=1$.

Cela posé, il est clair que, dans la totalité des mots de $m$ lettres, chaque lettre devra occuper à son tour la dernière place, et qu’il y aura autant de ces mots terminés par l’une quelconque de ces lettres qu’il y aura de manières de disposer les $m-1$ autres à sa gauche ou, ce qui revient au même, autant que $m-1$ lettres peuvent fournir de mots différens.

Il suit de là qu’on doit avoir, entre $M_{m}$ et $M_{m-1}$, la relation suivante

$M_{m}=mM_{m-1}\,;$

et, comme cette relation est indépendante de la grandeur de $m$, on pourra écrire successivement

${\begin{aligned}M_{m}\quad &=\qquad \ \ mM_{m-1},\\M_{m-1}&=(m-1)M_{m-2},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\M_{2}\quad &=\qquad \quad 2M_{1},\\M_{1}\quad &=\qquad \quad 1\,;\end{aligned}}$

d’où, on conclura, sur-le-champ, par la multiplication et la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation produit

$M_{m}=1\cdot 2\cdot 3\ldots (m-1)\cdot m.$^[1]

1. Cette manière assez simple et assez nette de parvenir au but peut être appliquée avec avantage à une multitude d’autres recherches du même genre.

   Que l’on propose, par exemple, de déterminer le nombre des mots distincts, de $n$ lettres chacun, que l’on peut former avec $m$ lettres données, toutes différentes les unes des autres ? Pour y parvenir, soient désignés respectivement par

   $M_{1},\quad M_{2},\quad M_{3},\ldots M_{n-2},\quad M_{n-1},\quad M_{n},$