longueurs et des difficultés qu’entraîne sa recherche, on croit devoir faire un objet à part, une espèce de hors-d’œuvre. Souvent même on ne dit absolument rien, dans ces sortes d’ouvrages, du développement des puissances des polynômes de plus de deux termes.
Toutefois, s’il n’y avait, pour parvenir au but, d’autre route que celle qui a été tracée par Clairaut, quelque longue et quelque détournée qu’elle fût, il faudrait bien nécessairement s’y assujettir. Mais si par une voie plus courte, plus facile et non moins rigoureuse, on peut parvenir directement au terme général du développement d’une puissance quelconque d’un polynôme, de quelque nombre de termes qu’on le suppose d’ailleurs formé, il n’y a point de doute qu’alors cette voie ne doive être préférée, et que le développement des puissances d’un binôme ne doive être considéré que comme un cas particulier du résultat général qu’on aura obtenu.
La méthode que je vais exposer me paraît réunir ces avantages.
Ce n’est qu’après m’être assuré, par une expérience de dix années au moins, qu’elle n’est pas plus au-dessus de l’intelligence des commençans que tant d’autres théories qu’on est dans l’usage de leur enseigner, que je me suis déterminé à la rendre publique.
Pour ne rien emprunter d’ailleurs ; je m’occuperai d’abord de la recherche de la seule formule de la théorie des permutations qui me soit nécessaire pour parvenir à mon but. Je le fais d’autant plus volontiers que les recherches de cette nature ne me paraissent pas exposées d’une manière assez nette dans la plupart des ouvrages destinés à l’enseignement.
I. Soient des lettres toutes différentes les unes des autres, au nombre de , et proposons-nous de déterminer de combien de manières elles peuvent être disposées entre elles, ou, ce qui revient au même, cherchons combien elles peuvent fournir de mots différens, de lettres chacun.
Soient, pour cela, désignés respectivement par
