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RÉSOLUES.

${\begin{aligned}A_{3}^{m}-2A_{2}^{m}+A_{1}^{m}&=1\cdot 2(A_{2}-A_{1})^{2}\int .P_{m-2}\cdot A_{3}\ldots A_{1},\\A_{4}^{m}-2A_{3}^{m}+A_{2}^{m}&=1\cdot 2(A_{2}-A_{1})^{2}\int .P_{m-2}\cdot A_{4}\ldots A_{2}\,;\\\end{aligned}}$

d’où

$A_{4}^{m}-3A_{3}^{m}+3A_{2}^{m}-A_{1}^{m}=1\cdot 2(A_{2}-A_{1})^{2}\left\{\int .P_{m-2}\cdot A_{4}\ldots A_{2}-\int .P_{m-2}\cdot A_{3}\ldots A_{1}\right\}$

$=1\cdot 2(A_{2}-A_{1})^{2}\left\{{\begin{aligned}&\left(A_{4}^{m-2}-A_{1}^{m-2}\right)\\+&\left(A_{4}^{m-3}-A_{1}^{m-3}\right)\int .P_{1}\cdot A_{3}A_{2}\\+&\left(A_{4}^{m-4}-A_{1}^{m-4}\right)\int .P_{2}\cdot A_{3}A_{2}\\+&\ldots \ldots \ldots \\+&\left(A_{4}^{3}-A_{1}^{3}\right)\int .P_{m-5}\cdot A_{3}A_{2}\\+&\left(A_{4}^{2}-A_{1}^{2}\right)\int .P_{m-4}\cdot A_{3}A_{2}\\+&\left(A_{4}-A_{1}\right)\int .P_{m-3}\cdot A_{3}A_{2}\,;\\\end{aligned}}\right.$

ou enfin

$A_{4}^{m}-3A_{3}^{m}+3A_{2}^{m}-A_{1}^{m}=1\cdot 2\cdot 3\cdot (A_{2}-A_{1})^{3}\int .P_{m-3}\cdot A_{4}\ldots A_{1}\,;$

savoir : un terme des différences troisièmes des puissances m.^emes des termes d’une progression arithmétique est le produit continuel des trois premiers nombres naturels, du cube de la différence constante des termes de la progression et de la somme des produits de $m-3$ dimensions, faits avec les termes dont on prend les différences troisièmes des puissances.