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QUESTIONS

$A_{3}^{m}-A_{2}^{m}=(A_{2}-A_{1})\int .P_{m-1}\cdot A_{3}A_{2}\,;$

d’où

$A_{3}^{m}-2A_{2}^{m}+A_{1}^{m}=(A_{2}-A_{1})\left\{\int .P_{m-1}\cdot A_{3}A_{2}-\int .P_{m-1}\cdot A_{2}A_{1}\right\}$

$=(A_{2}-A_{1})\left\{{\begin{aligned}&\left(A_{3}^{m-1}+A_{3}^{m-2}A_{2}+\ldots +A_{3}A_{2}^{m-2}+A_{2}^{m-1}\right)\\-&\left(A_{2}^{m-1}+A_{2}^{m-2}A_{1}+\ldots +A_{2}A_{1}^{m-2}+A_{1}^{m-1}\right)\\\end{aligned}}\right\}$

$=1\cdot 2(A_{2}-A_{1})^{2}\left\{\int .P_{m-2}\cdot A_{3}A_{1}+A_{2}\int .P_{m-3}\cdot A_{3}A_{1}\right.$

$\left.+A_{2}^{2}\int .P_{m-4}\cdot A_{3}A_{1}+\ldots +A_{2}^{m-3}\int .P_{1}\cdot A_{3}A_{1}+A_{2}^{m-2}\right\}\,;$

ou enfin

$A_{3}^{m}-2A_{2}^{m}+A_{1}^{m}=1\cdot 2\cdot (A_{2}-A_{1})^{2}\int .P_{m-2}\cdot A_{3}\ldots A_{1}.$

Savoir : un terme de différences secondes des puissances m.^emes des termes d’une progression arithmétique est le double du produit du quarré de la différence constante des termes de la progression par la somme des produits de $m-2$ dimensions, faits avec les termes dont on prend les différences secondes des puissances.

§. 4.

Sur les différences troisièmes.

Soient $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},$ quatre termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les m.^emes puissances et les différences troisièmes de ces puissances. On a, par ce qui précède,