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RÉSOLUES.

pour ceux à qui le calcul des différences est familier. Je me contenterai d’en indiquer la marche, sans entrer dans aucun détail.

On sait que $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ désignant les états successifs d’une fonction $y$ d’une variable $x$, on a généralement

$\mathrm {\Delta } ^{n}y=y_{n}-{\tfrac {n}{1}}y_{n-1}+{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}y_{n-2}-{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}\cdot {\tfrac {n-2}{3}}y_{n-3}+\ldots ~\mathrm {(A)}$

Soit

$y=x^{m},$

et supposons que $x$ prenne successivement des accroissernens désignés par $\mathrm {\Delta } x~;$ on aura

${\begin{aligned}y_{1}&=\left\{x+\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\y_{2}&=\left\{x+2\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\y_{n-2}&=\left\{x+(n-2)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\y_{n-1}&=\left\{x+(n-1)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\y_{n}&=\left\{x+n\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}.\\\end{aligned}}$

Substituant donc dans l’équation $\mathrm {(A)}$, il viendra

$\mathrm {\Delta } ^{n}y=\left\{x+n\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-{\tfrac {n}{1}}\left\{x+(n-1)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}+{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}\left\{x+(n-2)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-\ldots ~;$

équation qui, en y supposant $n=m,$ se change en celle-ci

$\mathrm {\Delta } ^{m}y=\left\{x+m\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-{\tfrac {m}{1}}\left\{x+(m-1)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}+{\tfrac {m}{1}}\cdot {\tfrac {m-1}{2}}\left\{x+(m-2)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-\ldots ~;$$\mathrm {(B)}$

Mais, d’un autre côté, d’après la valeur $y=x^{m},$ et l’égalité des accroissemens de la variable indépendante $x$, il est connu qu’on doit avoir

$\qquad \qquad \mathrm {\Delta } ^{m}y=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\ldots m\mathrm {\Delta } x^{m}$^[1] ;$\qquad \mathrm {(C)}$

1. Cette proposition n’est qu’un cas particulier de la suivante :