Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/184

174

LIEU AUX

sera la droite à déterminer de position, et son double sera la droite à déterminer de grandeur ; c’est-à-dire, que, si d’un point quelconque $\mathrm {M}$ on abaisse sur $\mathrm {SA,SA',SZ}$, les perpendiculaires $\mathrm {MP,MP',MR}$, on a l’équation $\mathrm {SA\times MP+SA'\times MP'=2SZ\times MR.}$^[1]

En particulier, si les droites $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {SA'}$ sont égales entre elles, la droite $\mathrm {SZ}$ coupe en deux parties égales l’angle $\mathrm {AS} a'$, et elle est perpendiculaire à la droite qui coupe en deux parties égales l’angle $\mathrm {ASA'}$. L’expression de $\mathrm {SZ}$ est alors $\mathrm {SA} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S}$, et on a $\mathrm {MP+MP'=2MR} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} .$

Cette proposition n’est qu’un cas particulier d’une propriété générale du centre des moyennes distances, que j’ai développée dans mes Élémens d’analise, etc., pag., 52-59.

Application. Soient deux droites qui se coupent données de position, et soit un point donné de position. On propose de trouver le lieu des points de chacun desquels abaissant des perpendiculaires sur les droites données de position, et menant une droite au point donné, la somme de ces perpendiculaires et de cette droite soit donnée de grandeur.

Soient $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {SA'}$ (fig. 3) deux droites données de position, se coupant en $\mathrm {S} .$ Soit $\mathrm {C}$ un point dpnné de position. Soit $\mathrm {M}$ un point duquel on abaisse sur $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {SA'}$, les perpendiculaires $\mathrm {MP,MP'}$, et on mène la droite $\mathrm {MC}$. Que la somme $\mathrm {MP+MP'+MC}$ soit donnée de grandeur ; on demande le lieu du point $\mathrm {M}$ ?

Par le point $\mathrm {S}$ soit menée la droite $\mathrm {SZ}$ qui divise en deux parties égales l’angle de suite de l’angle $\mathrm {A'SA}$. Soit aussi $\mathrm {MR}$ perpendiculaire à $\mathrm {SZ}$. Par le lemme précèdent $\mathrm {MP+MP'=2MR} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S}$ ; donc la somme $\mathrm {2MR} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S+MC}$ est donnée de grandeur. Soit $\mathrm {SD}$ la

1. En effet, en prolongeant $\mathrm {SZ}$ d’une quantité $\mathrm {ZS'=ZS}$, et menant $\mathrm {S'A}$ et $\mathrm {S'A'}$, la figure $\mathrm {SAS'} a'$ sera un parallélogramme, et conséquemment $\mathrm {SS'}$ pourra être considérée comme représentant en grandeur et en direction la résultante de deux forces, représentées en grandeur et en direction par $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {Sa} '.$ Alors, en considérant le point $\mathrm {M}$ comme le centre des momens, on devra avoir en effet l’équation ci-dessus.
   (Note des éditeurs.)