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LIEU AUX SECTIONS CONIQUES.

GÉOMÉTRIE.

Lieu aux sections coniques, relatif au problème traité
à la page 302 du premier volume des Annales.

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

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Le problème proposé à la page 232 du 1.^er volume des Annales, relativement à deux canaux rectilignes, a été discuté, d’une manière très-intéressante par M. Tedenat, à la page 302 du même volume. Cette discussion m’a engagé à présenter la question sous un autre point de vue, et à rechercher le lieu des points de chacun desquels abaissant des perpendiculaires sur deux droites données de position, et menant une droite à un point donné, la somme de ces perpendiculaires et de cette droite soit d’une grandeur constante.

Lemme. Soient deux droites données de position, et soient, deux droites correspondantes données de grandeur. D’un point quelconque, pris sur le plan de ces droites, soient abaissées sur elles des perpendiculaires. Soient pris les rectangles de ces perpendiculaires par les droites correspondantes données de grandeur, et soit prise la somme de ces rectangles.

On peut substituer à cette somme le rectangle de la perpendiculaire abaissée du même point sur une droite à déterminer de position par une droite à déterminer de grandeur de la manière suivante :

Soient $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {SA'}$ (fig. 2) deux droites données de grandeur et de position qui se coupent en $\mathrm {S}$. Soit prolongée $\mathrm {A'S}$ au-delà de $\mathrm {S}$ d’une quantité $\mathrm {S} a'=\mathrm {SA} '~;$ soit menée $\mathrm {A} a'$, et soit coupée cette droite en deux parties égales au point $\mathrm {Z}$ ; enfin soit menée $\mathrm {SZ}$, cette dernière droite