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PROBLÈME DE MALFATTI.

rayons respectifs sont $r,r',r'',$ et soient $m,n,m',n',m'',n'',$ les points de contact de ces cercles avec les côtés du triangle. Soient enfin $q,q',q'',$ les points où $p\mathrm {C} ,p'\mathrm {C} ,p''\mathrm {C} ,$ prolongés au-delà du point $\mathrm {C}$, rencontrent la circonférence du cercle inscrit.

Il a déjà été démontré, et il est d’ailleurs facile de s’assurer immédiatement que

${\begin{aligned}2{\sqrt {r\ \ r'\,}}&=m'n,\\2{\sqrt {r'\,r''}}&=m''n',\qquad \mathrm {(E)} \\2{\sqrt {r''r\ \ }}&=mn''.\\\end{aligned}}$

D’un autre côté, il est aisé de voir que

${\begin{aligned}d\ \ +R-\rho \ \ &=p\ \ c+cq\ \ -p\ \ k\ \,=k\ \ q\ \ ,\\d'\,+R-\rho '\,&=p'\,c+cq'\,-p'\,k'\ =k'\,q'\,,\qquad \mathrm {(F)} \\d''+R-\rho ''&=p''c+cq''-p''k''=k''q''~;\end{aligned}}$

d’où il suit que les équations $\mathrm {(D)}$ reviennent à celles-ci

${\begin{aligned}m''n'\,&=k\ \ q\ \ ,\\m\ \ n''&=k'\,q'\,,\qquad \mathrm {(G)} \\m'\,n\ \ &=k''q''\,;\end{aligned}}$

lesquelles présentent un théorème fort remarquable.

Posons pour abréger,

$\left.{\begin{aligned}k\ \ q\ \ &=d\ \ +R-\rho \ \ =a\ \ ,\\k'\,q'\,&=d'\,+R-\rho '\,=a'\,,\\k''q''&=d''+R-\rho ''=a''\,;\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}2{\sqrt {r'\,r''}}&=a,\\2{\sqrt {r''r\ \ }}&=a',\\2{\sqrt {r\ \ r'\,}}&=a'',\\\end{aligned}}\right.\mathrm {(H)}$

En prenant le produit de ces dernières équations, il viendra

$2r.2r'.2r''=aa'a''~;$

c’est-à-dire, que le parallélipipède construit sur les diamètres des trois cercles cherchés est équivalant au parallélipipède construit sur les trois longueurs connues $kq,k'q',k''q''.$

Si, au contraire, on divise successivement par chacune des équations $\mathrm {(H)}$ le produit des deux autres, il viendra