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ET TÉTRAÈDRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

2. Si deux arêtes continues d’un tétraèdre sont respectivement perpendiculaires à leurs opposées, les deux arêtes restantes seront aussi perpendiculaires l’une à l’autre, et alors les perpendiculaires abaissées des sommets du tétraèdre sur les plans des faces opposées se couperont toutes quatre en un même point lequel est aussi le point d’intersection des six plans conduits par chaque arête, perpendiculairement à son opposée.

Ce même point est encore celui où se coupent les quatre perpendiculaires élevées aux faces du tétraèdre par les points de ces faces où se coupent les trois perpendiculaires abaissées de leurs sommets sur les directions des côtés opposés.

Soient $a,b,c,$ les trois arêtes de la base d’un tétraèdre ; $a',b',c',$ celles qui leur sont respectivement opposées et qui conséquemment concourent au sommet ; supposons que $a'$ et $b'$ soient respectivement perpendiculaires à $a$ et $b~;$ par $a'$ et $b'$ soient fait passer deux plans $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ respectivement perpendiculaires à $a$ et $b$, et ayant pour intersections avec la base du tétraèdre deux droites $\alpha$ et $\beta$ se coupant en $o$ : ces deux plans se coupant eux-mêmes suivant une droite $p$ passant par $o$ et par le sommet du tétraèdre ; enfin, par $c'$ et $p$ soit conduit un plan $\mathrm {C}$, dont l’intersection avec la base sera une droite $\gamma$, passant par $o$ : $a$ étant perpendiculaire à $\mathrm {A}$ doit l’être aussi à $\alpha ,$ et $b$ doit pareillement être perpendiculaire à $\beta$ ; $\alpha$ et $\beta$ ne sont donc autre chose que les perpendiculaires abaissées sur les directions de $a$ et $b$ des sommets qui leur sont opposés ; donc $\gamma$ qui passe par $o$, intersection de $\alpha$ et $\beta ,$ est aussi une perpendiculaire abaissée sur la direction de $c$ du sommet de l’angle opposé : de plus $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant respectivement perpendiculaires à $a$ et $b$, sont perpendiculaires à la base du tétraèdre, et conséquemment leur intersection $p$ est aussi perpendiculaire à cette base, et par suite à $c$ ; le plan $\mathrm {C}$ qui passe par $p$ et par $\gamma$ perpendiculaires à $c$, est donc lui-même perpendiculaire à cette droite ; la droite $c'$ qui est dans ce plan est donc aussi perpendiculaire à $c$ ; ce qui démontre la première partie de la proposition. Le même raisonnement prouve aussi que, dans un tétraèdre dont les