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TRIANGLE

$t''=t'''\operatorname {Cos} .(t''t''')+t\operatorname {Cos} .(tt'')+t'\operatorname {Cos} .(t't''),$

$t'''=t\operatorname {Cos} .(tt''')+t'\operatorname {Cos} .(t't''')+t''\operatorname {Cos} .(t''t'''),$

multipliant respectivement ces équations par leur premier membre, et retranchant ensuite la dernière de la somme des trois premières, il viendra, en réduisant et transposant,

$t'''^{2}=t^{2}+t'^{2}+t''^{2}-2tt'\operatorname {Cos} .(tt')-2tt''\operatorname {Cos} .(tt'')-2t't''\operatorname {Cos} .(t't'').$

Corollaire. Il suit de là 1.^o que, dans un triangle rectangle, le quarré de l’hypothénuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés ; 2.^o que, dans un tétraèdre rectangle, le quarré de l’aire de la face hypothénusale est égal à la somme des quarrés des aires des trois autres faces.

§. 7.

1. Dans tout triangle, la somme des trois angles est constante et égale à deux angles droits.

2. Dans un tétraèdre dont les arêtes opposées sont perpendiculaires la somme des six angles dièdres augmentée de la somme des douze inclinaisons des six arêtes sur les quatre faces est constante et égale à douze angles droits.

Soient $\mathrm {A,B}$ deux arêtes opposées du tétraèdre ; par $\mathrm {A}$ soit fait passer un plan perpendiculaire à $\mathrm {B}$ ; ce plan déterminera un triangle dont un des angles mesurera l’inclinaison des deux faces qui passent par $\mathrm {B}$, tandis que les deux autres mesureront les inclinaisons de l’arête $\mathrm {A}$ sur ces deux faces ; opérant de même successivement sur chaque arête, on en conclura que la somme des angles dièdres et des inclinaisons des arêtes sur les faces est la même que la somme des angles de six triangles ; c’est-à-dire, que cette somme est constante et égale à douze angles droits.

§. 8.

1. Les perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle sur les directions des côtés opposés se coupent toutes trois en un même point.