, et conséquemment le premier de ces deux triangles est isocèle ; le second doit donc l’être aussi ; on doit donc avoir .
M. Encontre remarque de plus que, si l’on désigne par et les points où. et remontrent l’autre asymptote, on aura, par ce qui précède et par les propriétés générales de l’hyperbole,
retranchant la dernière équation de la somme des deux premières, il vient, en réduisant,
Les démonstrations synthétiques de MM. Vecten, professeur de mathématiques spéciales au lycée de Nismes, et Labrousse, maître de mathématiques dans la même ville, sont absolument les mêmes et reposent uniquement sur l’égalité des portions de sécantes interceptées entre les asymptotes et la courbe ; elles reviennent à peu près à ce qui suit.
Soient toujours (fig. 13) le centre de la courbe, et les asymptotes, un diamètre, deux droites joignant ses extrémités à un point quelconque de l’hyperbole ; la première de ces droites coupant les asymptotes en et , et la seconde en et .
Soit menée par une parallèle à terminée en à l’asymptote, et soit joint ; à cause de l’égalité des triangles et et de , sera parallèle à , et conséquemment les triangles et seront semblables ; mais, parce que perpendiculaire à tombe sur son milieu, le premier de ces deux triangles est isocèle ; le dernier l’est donc aussi ; on a donc .
La démonstration donnée par M. Ferriot, principal du collège de Baume, est d’une forme particulière ; il démontre d’abord, comme
