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RÉSOLUES.

ou$\qquad \qquad \qquad a\mathrm {X} \times a''\mathrm {X} ''=Aa\times \mathrm {A} ''a''.$

Donc on connaît les droites $a\mathrm {B} ,a''\mathrm {B} '',$ et en outre les rectangles $a\mathrm {X} \times a''\mathrm {X} '',\mathrm {BX} \times \mathrm {B} ''\mathrm {X} ''$ sont donnés de grandeur ; donc le problème sur trois droites données de grandeur et sur trois rectangles formés par leurs parties, d’une manière conforme à l’énoncé, est ramené au problème correspondant sur deux droites seulement.

Remarque. On ramènera précisément de la même manière le problème proposé sur quatre droites, au problème correspondant sur trois droites ; et généralement, le problème étant proposé sur un certain nombre de droites, on le ramènera au problème correspondant sur un nombre de droites inférieur d’une unité.

Problème. À un triangle donné, inscrire un triangle dont les côtés passent par des points donnés ?

Soient $\mathrm {A,A',A'',}$ les sommets d’un triangle donné ; soient $\mathrm {P,P',P'',}$ trois points donnés sur le plan de ce triangle. On demande d’inscrire au triangle donné, un triangle $\mathrm {XX'X''}$, dont les côtés $\mathrm {XX',X'X'',X''X,}$ passent respectivement par les points $\mathrm {P'',P,P'}$ ?

Par $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {P} \\&\mathrm {P} '\\&\mathrm {P} ''\\\end{aligned}}\right\}$ soient menées aux côtés $\left\{{\begin{array}{ll}\mathrm {AA} '&,\mathrm {AA} ''\\\mathrm {A'A'} '&,\mathrm {A'A} \\\mathrm {A''A} &,\mathrm {A''A'} \\\end{array}}\right\}$ les parallèles $\left\{{\begin{array}{ll}\mathrm {P} a'&,\mathrm {P} b'',\\\mathrm {P} 'a''&,\mathrm {P} 'b,\\\mathrm {P} ''a&,\mathrm {P} ''b'.\\\end{array}}\right.$

Les rectangles $\left\{{\begin{array}{lll}a\mathrm {X} \times b'\mathrm {X} \quad ,&a''\mathrm {X} ''\times b\mathrm {X} \ ,&a'\mathrm {X} '\times b''\mathrm {X} '',\\a\mathrm {A} ''\times b'\mathrm {A} '',&\ a''\mathrm {A} '\times b\mathrm {A} ',&\ a'\mathrm {A} \times b''\mathrm {A} \ \ \,;\\\end{array}}\right.$

sont égaux deux à deux ; ainsi ceux de la première ligne sont donnés de grandeur ; et, comme on connaît en outre les distances $ab,a'b',a''b'',$ le problème se trouve ramené au lemme précédent.

Remarque. À l’aide de l’extension dont on a vu tout à l’heure que ce lemme est susceptible, on résoudra d’une manière semblable le problème général. À un poligone donné, inscrire un poligone de même nom, dont les côtés (ou leurs prolongemens) passent respectivement par des points (en même nombre) donnés de position ?