Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/11

7

DES CORPS CÉLESTES.

$(24)\left\{{\begin{aligned}&(p'''y-q'''x)\\+&(p''y'-q''x')\\-&2(p'y''-q'x'')\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}Z&+3(p''y-q''x)\\&+2(p'y'-q'x')\\\\\end{aligned}}\right.\left|{\begin{aligned}Z'&+2(p'q''-q'p'')Z^{2}=0\\&\\\\\end{aligned}}\right.$

Éliminant enfin $Z'$ entre les équations (21, 24), et divisant par Z l’équation résultante, on en tirera

$Z={\frac {3(p''y-q''x)^{2}-4(p'y-q'x)(p'y''-q'x'')-2(p'q''-q'p'')(xy'-yx')-2(p'y-q'x)(p'''y-q'''x)}{4(p'q''-q'p'')(p'y-q'x)}}$

VI. Pour calculer cette valeur de Z, il faudra d’abord, à l’aide des valeurs de $r$ et $\alpha$ qui répondent à l’époque $t$, et que donneront les éphémérides, et par les lois connues du mouvement de la terre, déterminer $r',r''{\text{ et }}\alpha '~;$ d’où, par les équations (1, 2), et leurs différentielles premières et secondes, on conclura, pour la même-époque, les valeurs de $x',y',x'',y'',$ dont les dernières, en vertu de l’équation (19), ne renfermeront pas $\alpha ''$.

Ensuite, à l’aide de plusieurs longitudes et latitudes observées, dans le voisinage de l’époque $t$, on calculera, par la méthode que M. Laplace a indiquée^[1], les valeurs approchées, toujours pour l’époque $t$, de $\beta ,\beta ',\beta '',\beta '''~;\gamma ,\gamma ',\gamma '',\gamma '''.$ Recourant alors aux équations (3, 4), et à leurs différentielles des trois premiers ordres, on en conclura les valeurs correspondantes de $p,p',p'',p''',q,q',q'',q'''~;$ au moyen de quoi tout se trouvera connu dans la valeur de Z.

Z étant ainsi déterminé, l’équation (21) fera connaître $Z'$, et on obtiendra ensuite $X,X',Y,Y',$ par les équations (5, 6, 7, 8).

Appelant donc $R$ le rayon vecteur, pour l’époque $t$, on aura

$R^{2}=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}~;$

de plus, en formant la quantité

$XX'+YY'+ZZ',$

1. Voyez Mécanique céleste, tom. I, pag. 193.