La seconde proposition n’est pas plus difficile à démontrer. Qu’on imagine en effet une section perpendiculaire aux arêtes latérales, et que cette section soit décomposée en triangles correspondants à ceux des deux bases ; comme ces derniers seront les projections des premiers sur le plan coupant, ils seront à la fois entre eux dans le rapport des triangles de l’une des bases et dans le rapport des triangles de l’autre ; d’où il suit que les triangles correspondants de l’une et de l’autre base seront eux-mêmes dans un rapport constant.
Pour parvenir, d’après ces principes, à la démonstration du théorème, MM. Labrousse, maître de mathématiques à Nismes, et Fauquier, élève du lycée de la même ville, ont démontré, par la composition des forces parallèles, que, si la proposition était vraie pour un tronc de prisme ayant des bases de côtés, elle devait l’être aussi pour un tronc de prisme ayant des bases de côtés ; et ils en ont conclu que la proposition étant vraie, en effet, pour des troncs de prismes triangulaires, elle devait être vraie pour des troncs de prismes quelconques.
Les démonstrations données par MM. Servois, Lhuilier et Rochat reviennent au fond à ce qui suit :
Soient la base supérieure du tronc et la distance de son centre de gravité au plan de la base inférieure ; soient les triangles résultant de la décomposition de cette base et les distances de leurs centres de gravité particuliers au plan de la base inférieure ; soit cette base et les triangles résultant de sa décomposition et correspondant à soit enfin le volume du tronc, on aura d’abord
mais, étant un nombre constant choisi convenablement, on doit avoir
ce qui donne d’abord
mais on a, par le principe des momens,
