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DÉTERMINATION DES ORBITES

s’évanouit, en vertu des équations (13, 14, 15), en sorte que l’équation devient simplement

$(21)\qquad (p''y-q''x)Z+2(p'y-q'x)Z'=0$

V. Soient, en second lieu, substituées dans l’équation (20) pour

${\begin{array}{llll}x,&x',&x'',&x'''~;\\y,&y',&y'',&y'''~;\\\end{array}}$

leurs valeurs données par les équations (5, 6, …, 11, 12), il viendra

$\left.{\begin{aligned}(X-pZ)(Y'''-q'''Z-3q''Z'-3q'Z''-qZ''')&+(X'-p'Z-pZ')(Y''-q''Z-2q'Z'-qZ'')\\-(Y-qZ)(X'''-p'''Z-3p''Z'-3p'Z''-pZ''')&-(Y'-q'Z-qZ')(X''-p''Z-2p'Z'-pZ'')\\\end{aligned}}\right\}=0.$

Cette équation peut d’abord, en vertu des équations (5, 6, 7, 8, 9, 10), être écrite ainsi :

$\left.{\begin{aligned}(X-pZ)(Y'''-qZ''')-(Y-qZ)(X'''-pZ''')&+(X'-pZ')(Y''-qZ'')-(Y'-qZ')(X''-pZ'')\\-x(q'''Z+3q''Z'+3q'Z'')&-(x'+p'Z)(q''Z+2q'Z')-p'y''Z\\+y(p'''Z+3p''Z'+3p'Z'')&+(y'+q'Z)(p''Z+2p'Z')-q'x''Z\\\end{aligned}}\right\}=0.$

En développant la première ligne, et l’ordonnant par rapport à $p$ et $q$, on voit qu’elle s’évanouit, en vertu des équations (16, 17, 18) ; le surplus de l’équation est, en réduisant,

$(22)\left\{{\begin{aligned}&(p'''y-q'''x)\\+&(p''y'-q''x')\\-&(p'y''-q'x'')\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}Z&+3(p''y-q''x)\\&+2(p'y'-q'x')\\\\\end{aligned}}\right.\left|{\begin{aligned}Z'&+3(p'y-q'x)Z''-(p'q''-q'p'')Z^{2}=0\\&\\\\\end{aligned}}\right.$

VI. Soit enfin différentiée l’équation (21) ; on aura ainsi

$(23)\left\{{\begin{aligned}&(p'''y-q'''x)\\+&(p''y'-q''x')\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}Z&+3(p''y-q''x)\\&+2(p'y'-q'x')\\\end{aligned}}\right.\left|{\begin{aligned}Z'&+2(p'y-q'x)Z''=0.\\&\\\end{aligned}}\right.$

Éliminant alors $Z'',$ entre les équations (22, 23), il viendra