deux produits, on pourra, sans rien changer à leur valeur, amener à l’avant-dernière place, dans chacun, le facteur qui se trouve le dernier dans l’autre ; car on ne fera, ainsi qu’intervertir l’ordre des multiplications entre les n-1 mêmes facteurs ; alors, de part et d’autre, les deux derniers facteurs seront les mêmes, et se présenteront seulement dans un ordre inverse ; et comme, de part et d’autre aussi, les facteurs qui précéderont les deux derniers seront les mêmes, et en nombre n-2, ils donneront le même produit : considérant donc ce produit comme un même premier facteur, il restera à former deux produits des trois mêmes facteurs produits qui, d’après ce qui précède, seront nécessairement égaux.
Il est donc prouvé maintenant que la proposition serait vraie pour n facteurs, si l’on était certain qu’elle le fût pour n-2 et n-1 facteurs ; mais, puisqu’elle est vraie pour 2 et 3 facteurs, elle doit l’être pour 4 ; l’étant pour 3 et 4, elle le sera pour 5, et ainsi de suite : elle est donc générale.
Voilà pour ce qui concerne les nombres entiers, considérés abstraction faite de leur signe ; et, comme il est aisé de prouver, à priori que le signe du produit de plusieurs facteurs dépend uniquement du nombre des facteurs négatifs, et non point du rang suivant lequel ils se présentent, on en peut conclure que, même en ayant égard à leur signe, le produit de plusieurs facteurs entiers est encore une fonction symétrique de ces facteurs ; enfin, les règles de la multiplication des facteurs, soit fractionnaires, soit radicaux, prouvent que le même principe leur est également applicable.
De là il est facile de conclure, 1.o que, si plusieurs nombres doivent être combinés entre eux uniquement par voie de multiplication et de division, on peut intervertir, comme on le voudra, l’ordre des opérations qui doivent conduire au résultat, pourvu qu’on opère constamment de la même manière avec les mêmes nombres ; 2.o que, si l’on doit élever successivement un même nombre à diverses puissances, et en extraire diverses racines, on peut aussi, sans altérer le résultat final, intervertir, comme on le voudra, l’ordre des opérations.
