commensurables, et il serait difficile de l’y amener, si toutefois la chose est possible.
37. Après avoir exposé, dans ce qui précède, les divers résultats auxquels je suis parvenu, je crois devoir faire observer qu’on pourrait arriver à quelques-uns par des moyens plus simples ; mais j’ai préféré d’employer des méthodes générales, et de varier autant qu’il m’a été possible les solutions que j’ai données. La question principale, c’est-à-dire, celle de trouver deux équations du degré , qui ne diffèrent que par leur dernier terme, et aient des nombres rationnels pour racines, peut être envisagée sous différens points de vue.
1.o Il est évident, par le théorème de Newton sur les sommes des puissances des racines d’une équation, qu’elle peut s’énoncer ainsi : Trouver nombres, tels que les sommes des 1.eres, 2.mes, 3.mes … m-1.mes puissances des m premiers, soient respectivement égales aux sommes des 1.res, 2.mes, 3.mes, m-1.mes puissances des m derniers.
2.o On voit, d’après la composition générale des équations, que, si on a équations du degré m, qui ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme, et soient telles que les sommes des produits 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, n-1 à n-1 des derniers termes des n premières, soient respectivement égales aux sommes des produits 1 à 1, 2 à 2, 3 à 3, n-1 à n-1 des derniers termes des n dernières, en multipliant entre elles les n premières d’une part, et les n dernières d’autre part, on aura deux équations du degré mn, qui ne différeront entre elles que par leur dernier terme. La remarque du n.o 26 rentre, comme cas particulier, dans ce que je viens de dire.
3.o Lorsqu’on a deux équations complètes en du degré m, conditionnées comme nous le demandons, on peut, après avoir rendu toutes les racines positives, chercher à les transformer en carrés : alors, en mettant dans ces équations à la place de , on a deux équations du degré , décomposables en facteurs de la forme
