Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/49

45

LOGARITHMIQUES.

$\left.{\begin{array}{lr}&\left.{\begin{array}{cr}x^{6}+6(a^{2}-ab+b^{2})x^{5}+13(a^{2}-ab+b^{2})^{2}x^{4}+12(a^{2}-ab+b^{2})^{3}x^{3}+&\\4(a^{2}-ab+b^{2})^{4}x^{2}-a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}(2a-b)^{2}(a-2b)^{2}&\\\end{array}}\right\}=0\\{\text{ou}}&\\&\left.{\begin{array}{cr}\left[x-b(a-2b)\right]\left[x+2(2a-b)\right]\left[x+(a-b)(a-2b)\right]\times &\\\left[x+(a-b)(2a-b)\right]\left[x+b(a+b)\right]\left[x+2(a+b)\right]&\\\end{array}}\right\}=0\end{array}}\right\}\mathrm {R}$

qui a pour résultante :

$x^{2}\left[x+(a^{2}-ab+b^{2})\right]^{2}\left[x+2(a^{2}-ab+b^{2})\right]^{2}=0$

32. Le nombre $a^{2}-ab+b^{2}{\text{ ou }}a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2}$, qui entre dans la composition des équations $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R,}$ est remarquable en ce qu’il est la somme d’un carré et du triple d’un autre carré. En effet, les lettres $a{\text{ et }}b$ peuvent toujours représenter, l’une la somme, et l’autre la différence de deux nombres. On peut donc faire $a=\alpha +\beta {\text{ et }}b{\text{ ou }}\lambda =\alpha -\beta$. Ces valeurs substituées dans $a^{2}-ab+b^{2}{\text{ et }}a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2}$, changent ces expressions en $\alpha ^{2}+3\beta ^{2}$, quantité qui conserve sa forme, tant qu’on n’a pas $\alpha =0{\text{ ou }}\beta =0$, c’est-à-dire, $b=-2{\text{ ou }}b=a$.

33. Si, à la place de $a^{2}-2\lambda +\lambda ^{2}$, et de $a^{2}-ab+b^{2}$, on met $\alpha ^{2}+3\beta ^{2}$ dans les équations $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R,}$ on aura ;

pour les premières,

$x^{6}-2(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})^{2}x^{4}+(a^{2}+3\beta ^{2})^{4}x^{2}-16\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}(\alpha ^{2}-9\beta ^{2})^{2}=0$

ou

$\left[x^{2}-(\alpha +\beta )^{2}(\alpha -3\beta )^{2}\right]\left[x^{2}-16\alpha ^{2}\beta ^{2}\right]\left[x^{2}-(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +3\beta )^{2}\right]=0$

et

$x^{2}\left[x^{2}-(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})^{2}\right]^{2}=0$

et pour les secondes,

$\left.{\begin{array}{ll}x^{6}+6(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})x^{5}+13(a^{2}+3\beta ^{2})^{2}x^{4}+12(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})^{3}x^{3}+\\4(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})^{4}x^{2}-16\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}(\alpha ^{2}-9\beta ^{2})^{2}\\\end{array}}\right\}=0$

ou

$\left.{\begin{array}{ll}\left[x+(\alpha -\beta )(\alpha -3\beta )\right]\left[x+(\alpha +\beta )(\alpha +3\beta )\right]\left[x+2\beta (\alpha +3\beta )\right]{\text{x}}\\\left[x+2\alpha (\alpha +\beta )\right]\left[x-2\beta (\alpha -3\beta )\right]\left[x+2\alpha (\alpha -\beta )\right]\\\end{array}}\right\}=0$