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FORMULES.

ne diffèrent entre elles que par le signe de leur dernier terme. Ces deux transformées sont :

$x^{3}-3x+2=0\quad {\text{ ou }}\quad (x-1)^{2}(x+2)=0$

et

$x^{3}-3x-2=0\quad {\text{ ou }}\quad (x+1)^{2}(x-2)=0$

26. Avant d’aller plus loin, nous ferons observer ici que ($\mathrm {X^{m}}$ représentant une fonction de $x$ du degré $m$, qui devient zéro en même temps que cette variable ), lorsque la résultante commune de deux équations $\mathrm {X^{m}+S=0{\text{, et }}X^{m}-S=0}$, qui ne diffèrent entre elles que par le signe de leur dernier terme, a comme elles des racines commensurables, on obtient, en les multipliant l’une par l’autre, l’équation $\mathrm {X^{2m}-S^{2}=0}$ du degré $2m$ qui a pareillement, ainsi que sa résultante, des nombres rationnels pour racines. Cette propriété tient à une plus générale que voici. Lorsque deux équations $\mathrm {X^{m}+S=0}$ et $\mathrm {X^{m}+T=0}$, qui ont des racines commensurables et ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme, sont telles qu’en les ajoutant membre à membre, et divisant ensuite par 2, l’équation demi-somme $\mathrm {X^{m}+{\frac {S+T}{2}}=0}$ a aussi des racines commensurables ; si, d’un côté, on élève au carré cette dernière, et que d’un autre, on multiplie membre à membre les deux premières, les équations qui en proviendront, savoir : $\mathrm {X^{2m}+(S+T)X^{m}+{\frac {(S+T)^{2}}{4}}=0}$ et $\mathrm {X^{2m}+(S+T)X^{m}+ST=0}$, jouiront encore de la propriété de ne différer entre elles que par leur dernier terme, et d’avoir, comme les équations primitives, des racines commensurables. En effet, dans le premier cas, la résultante commune n’est autre chose que l’équation demi-somme dont nous venons de parler.

27. Prenons pour second exemple de la règle du n.^o 20, l’équation littérale ;

$x^{2}+(b+c)x+bc=0\quad {\text{ ou }}\quad (x+b)(x+c)=0$