Si au contraire le triangle est équilatéral, le problème demeurera indéterminé, de manière que tous les points du plan de ce triangle pourront être pris pour le point cherché.
De là résulte ce théorème connu : la somme des perpendiculaires abaissées sur les directions des côtés d’un triangle équilatéral, d’un point quelconque de son plan, est une quantité constante et égale à la hauteur du triangle.
9. PROBLÈME V. Déterminer un point dont la somme des distances à deux points et à une circonférence donnés soit la moindre possible[1] ?
Solution. La somme des distances d’un point à deux points donnés et à la circonférence d’un cercle donné ne différant de la somme des distances du même point aux deux mêmes points et au centre du cercle, que par le rayon de ce cercle qui est une quantité constante ; l’une de ces sommes ne peut être un minimum à moins que l’autre n’en soit un aussi. On construira donc ce problème comme le Problème I, en substituant au troisième point donné le centre du cercle donné.
10. PROBLÈME VI. Déterminer un point dont la somme des distances à un point, à une droite et à une circonférence donnés soit la moindre possible[2] ?
Solution. Pour des raisons semblables à celles qui viennent d’être développées ci-dessus, on construira ce problème comme le Problème II, en substituant à l’un des deux points donnés le centre du cercle donné,
11. PROBLÈME VII. Déterminer un point dont la somme des distances à deux droites et à une circonférence données soit la moindre possible ?
Solution. Il est aisé de voir que ce problème présente des circonstances analogues à celles qu’offre le Problème III ; c’est-à-dire que, si l’angle des droites données n’est pas de , le problème sera impossible ; et que, dans le cas contraire, on pourra prendre pour
