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PROPRIÉTÉS DU TÉTRAÈDRE.

GÉOMÉTRIE.

Mémoire sur le tétraèdre, présentant la solution de
diverses questions proposées dans les Annales ;

Par M. J. L …, abonné^[1].

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1. Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, les droites qui joignent les milieux des côtés opposés et ceux des deux diagonales passent toutes trois par le même point où elles sont coupées en deux parties égales^[2].

Soient en effet $\mathrm {AB,BC,CD,DA,}$ (fig. 1) les quatre côtés consécutifs d’un quadrilatère, plan ou gauche, ayant leurs milieux respectifs en $\mathrm {Q,P,N,M~;}$ soient, en outre, $\mathrm {R,S,}$ les milieux respectifs des deux diagonales $\mathrm {BD,AC,}$ de ce quadrilatère, et soient joints ces points, deux à deux, par des droites. Par ce que $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q}$ sont les milieux respectifs de $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {BA}$, la droite $\mathrm {RQ}$ est moitié de $\mathrm {DA}$ et lui est parallèle ; pour de semblables raisons $\mathrm {NS}$ est aussi moitié de $\mathrm {DA}$ et lui est parallèle ; donc les deux droites $\mathrm {RQ}$ et $\mathrm {NS}$ sont égales et parallèles, et conséquemment le quadrilatère $\mathrm {RQSN}$ est un parallélogramme ; d’où il résulte que les droites $\mathrm {NQ}$, $\mathrm {RS}$, se coupent réciproquement en deux parties égales. On prouvera, par un semblable raisonnement, que les droites $\mathrm {MP}$, $\mathrm {RS}$ se coupent aussi réciproquement en deux parties égales ;

1. Ce mémoire renferme quelques propositions déjà démontrées ailleurs ; mais, comme elles s’y trouvent liées avec beaucoup d’autres qui sont propres à l’auteur, on a cru nécessaire de publier le tout sans en rien retrancher.
2. Voyez les pag. 311 et suivantes de ce volume.
   (Notes des éditeurs.)