Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/363

351

LETTRE DE M. KRAMP.

tion, tient 1.^o à ce que le terme 49 est un quarré, ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme

$y'^{2}-11x'^{2}=1~;$

2.^o à ce que, parmi les systèmes de valeurs fractionnaires de $y',x',$ qui satisfont à cette dernière, il s’en trouve deux qui, à cause de leur dénominateur, donnent pour $y$ et $x$ des nombres entiers. On voit en effet que

$\left.{\begin{aligned}\left({\tfrac {15}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {4}{7}}\right)^{2}&=1,\\\left({\tfrac {18}{7}}\right)^{2}-11\left({\tfrac {5}{7}}\right)^{2}&=1,\\\end{aligned}}\right\}$ donnent $\left\{{\begin{aligned}15^{2}-11\cdot 4^{2}&=49,\\18^{2}-11\cdot 5^{2}&=49.\\\end{aligned}}\right.$

Si, au contraire, on posait

$y'={\tfrac {6}{5}},\quad x'={\tfrac {1}{5}},$

on satisferait bien à l’équation

$y'^{2}-11x'^{2}=1~;$

mais il en résulterait pour $y$ et $x$ les valeurs fractionnaires

$y={\tfrac {42}{5}},\quad x={\tfrac {7}{5}},$

Les formules (1), (2), sont donc très-générales ; elles contiennent toutes les séries de valeurs qui peuvent satisfaire à l’équation $y^{2}-Ax^{2}=B,$ tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires.

---

N. B. Pendant que ceci s’imprimait, les rédacteurs ont reçu de M. Kramp la lettre suivante :

Messieurs,

Mes recherches sur la solution complette, en nombres entiers, de l’équation $ay^{2}+b=x^{2},$ m’ont conduit à quelques remarques que je m’empresse d’autant plus de vous communiquer qu’elles doivent servir à rectifier ce que j’ai eu l’honneur de vous écrire dans ma dernière lettre.

On sait que, si l’on connaît un cas qui remplisse la condition de cette équation, tel que $aq^{2}+h=p^{2}~;$ et que, de plus, on connaisse deux nombres entiers $m,n,$ tels que $an^{2}+1=m^{2}~;$ on peut de cette seule solution en déduire une infinité d’autres. Les $x$, aussi bien que les $y$, formeront deux séries récurrentes soumises à l’échelle de relation plus $2m$ et moins 1 ; et, en désignant par $p',p'',p''',\ldots$ les termes de la première des deux séries, et par $q',q'',q''',\ldots$ les termes correspondants de l’autre, on aura

$p'=mp+anq,\quad p''=2mp'-p,\quad p'''=2mp''-p',\ldots$

$q'=np+mq,\quad q''=2mq'-q,\quad q'''=2mq''-q',\ldots$

Par les lettres $p,q,$ nous désignons toujours les termes initiaux des deux séries, qui en même temps sont moindres que tous les suivants ; et il y aura autant de ces séries que l’on pourra trouver de valeurs de $p$ et $q$, différentes, et indépendantes entre elles.