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Il y a plus de dix ans que ce difficile problème s’est offert, pour la première fois, aux rédacteurs de ce recueil ; mais, bien qu’ils l’aient attaqué un grand nombre de fois, ils n’ont pu, pendant long-temps, parvenir à le résoudre, ni même à s’assurer s’il était résoluble par la ligne droite et le cercle. Aussi n’auraient-ils pas songé à le proposer dans les Annales, s’ils n’y avaient été invités par un de leurs abonnés.
Ils avaient lieu de penser que le géomètre qui les avait sollicité à appeler sur ce problème l’attention de leurs lecteurs, se chargerait lui-même de le résoudre, au cas qu’il n’en vînt aucune solution d’autre part ; mais ayant long-temps et vainement attendu, ils ont cru devoir faire encore de nouvelles tentatives ; et, plus heureux cette fois que les précédentes ; ils sont parvenus, sinon à trouver une construction du problème, du moins à l’abaisser au premier degré, et à réduire sa résolution arithmétique à un calcul assez simple. Voici par quels moyens ils sont parvenus à leur but.
PROBLÈME. À un triangle donné quelconque inscrire trois cercles de manière que chacun d’eux touche les deux autres et deux côtés du triangle ?
Solution. Soient désignés par (fig. 7) les sommets du triangle donné ; par les côtés respectivement opposés ; par les centres respectifs de ceux des cercles cherchés qui ne doivent pas toucher ces côtés ; par les rayons respectifs de ces cercles, et soient adoptées les abréviations suivantes :
