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ÉLIMINATION.

triples $\mathrm {\frac {XX''}{X'^{2}}} ~;$ et ainsi des autres, de manière qu’on aura

$\mathrm {X=\left({\frac {XX''}{X'^{2}}}\right)\left({\frac {X'X'''}{X''^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {X''X''''}{X'''^{2}}}\right)^{3}\ldots }$

Nous allons appliquer le théorème, aussi bien que la méthode, au polynôme proposé dans l’endroit que nous venons de citer, et qu’il serait bien difficile de décomposer, en y employant les méthodes ordinaires.

EXEMPLE. On propose de déterminer si le polynôme

$X=y^{9}+2y^{8}+y^{7}+6y^{6}+7y^{5}-2y^{4}+3y^{3}+2y^{2}-12y-8$

a des facteurs égaux ; et, au cas qu’il en ait de tels, de les mettre en évidence ?

On a ici

$\operatorname {D} X=9y^{8}+16y^{7}+7y^{6}+36y^{5}+35y^{4}-8y^{3}+9y^{2}+4y-12$

ce qui donne lieu aux opérations suivantes :

Première opération.

Équations $\left\{{\begin{aligned}0=&y^{9}+2y^{8}+y^{7}+6y^{6}+7y^{5}-2y^{4}+3y^{3}+2y^{2}-12y-8,\\0=&9y^{8}+16y^{7}+7y^{6}+36y^{5}+35y^{4}-8y^{3}+9y^{2}+4y-12.\\\end{aligned}}\right.$

${\begin{array}{llll}A=+\ \,1,&a=+\ \ 9,&Ab-Ba=-\ \ 2,&a'=-\,\ 14=-2\cdot \,\ \ 7,\\B=+\ \,2,&b=+\,16,&Ac-Ca=-\ \ 2,&b'=+148=+2\cdot \ 74,\\C=+\ \,1,&c=+\ \ 7,&Ad-Da=-18,&c'=+180=+2\cdot \ 90,\\D=+\ \,6,&d=+\,36,&Ae-Ea=-28,&d'=-160=-2\cdot \ 80,\\E=+\ \,7,&e=+\,35,&Af-Fa=+10,&e'=+178=+2\cdot \ 89,\\F=-\ \,2,&f=-\ \ 8,&Ag-Ga=-18,&f'=+108=+2\cdot \ 54,\\G=+\ \,3,&g=+\ \ 9,&Ah-Ha=-14,&g'=-872=-2\cdot 436,\\H=+\ \,2,&h=+\ \ 4,&Ai\ -I\,\ a=+96,&h'=-624=-2\cdot 312,\\I\,\ =-12,&i\ =-12,&Ak\,-Ka=+72~;\\K=-\,\ 8~;\end{array}}$