Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/289

279

PÉRIODIQUES.

${\begin{array}{ll}\mathrm {(AE')} \ \ =\,\ \quad 180,&\mathrm {(BE')} \ \ =\ \quad 109,\\{\underline {\mathrm {(AF')} \ \ =\quad 1189,}}&{\underline {\mathrm {(BF')} \ \ =\ \quad 720,}}\\\mathrm {(AE'')} \ =\quad 6485,&\mathrm {(BE'')} \ =\,\ \ \ 3927,\\{\underline {\mathrm {(AF'')} \ =\,\ \ 42837,}}&{\underline {\mathrm {(BF'')} \ =\ \ 25940,}}\\\mathrm {(AE''')} =\ 233640,&\mathrm {(BE''')} =141481,\\\mathrm {(AF''')} =1543321,&\mathrm {(BF''')} =934560.\end{array}}$

Ainsi, les nombres qui rendront quarrée l’expression $13y^{2}-1$ seront $5,6485,\ldots ,$ et les racines de ces quarrés seront $18,23382,\ldots ~;$ ceux, au contraire, qui rendront quarrée l’expression $13y^{2}+1$ seront $180,233640,\ldots ,$ et les racines correspondantes seront $649,842401,\ldots .$

Exemple VI. Déterminer les valeurs de $y$ qui peuvent rendre quarrée l’expression $17y^{2}+1~?$

On a simplement ici $\qquad \alpha =4,\qquad a=8~;$
la période entière ne consiste donc que dans une base unique. Les médiateurs sont

${\begin{array}{lr}\mathrm {(AF\ \ \ )} =\mathrm {(\ B\quad )} =&8,\\\mathrm {(AF'\,\ )} =\mathrm {(BF\,\ \ )} =&65,\\\mathrm {(AF''\ )} =\mathrm {(BF'\,\ )} =&528,\\\mathrm {(AF'''\,)} =\mathrm {(BF''\,)} =&4289,\\\mathrm {(AF'''')} =\mathrm {(BF''')} =&34840.\end{array}}$

les valeurs de $y$ qui rendent $17y^{2}-1$ un quarré parfait sont donc $65,\quad 4289,\ldots ,$et les racines correspondantes sont

${\begin{array}{rrr}\mathrm {(AF'')-4(AF')} =&\mathrm {(AF)+4(AF')} =&268,\\\mathrm {(AF'''')-4(AF''')} =&\mathrm {(AF'')+4(AF''')} =&34840,\\\end{array}}$

et ainsi des autres ; celles qui rendent, au contraire, $17y^{2}+1$ un quarré parfait sont $8,528,34840\ldots ,$ et les racines correspondantes sont

${\begin{array}{rrr}\mathrm {(AF')-4(AF)} =&1+4\mathrm {(AF)} =&33,\\\mathrm {(AF''')-4(AF'')} =&\mathrm {(AF')+4(AF'')} =&2177,\\\mathrm {(AF^{v})-4(AF'''')} =&\mathrm {(AF''')+4(AF'''')} =&283009,\\\end{array}}$

et ainsi des autres.

20. L’équation générale du second degré