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FRACTIONS-CONTINUES

rence dépend donc des bases périodiques, et son signe de la parité ou de l’imparité du nombre des bases initiales.

Examinant de même la différence de produits $\mathrm {LO-MN,}$ on la trouvera égale au produit des deux facteurs qui suivent :

(\alpha \zeta )(\beta \epsilon )-(\alpha \epsilon )(\beta \zeta )=+u,

et $\qquad \qquad \qquad \qquad (\alpha \mathrm {F} )(\beta \mathrm {E} )-(\alpha \mathrm {E} )(\beta \mathrm {F} )=+uv.$

Chacun de ces facteurs est, dans tous les cas, égal à l’unité. Cette unité, pour le premier facteur, est positive ou négative, suivant que le nombre des bases initiales est pair ou impair. Et, pour le second facteur, cette même unité est positive ou négative suivant que le nombre total, tant des bases initiales que des bases périodiques, est pair ou impair. On voit par là que la différence $\mathrm {LO-MN,}$ toujours égale à l’unité, dépendra, quant à son signe, de la parité ou de l’imparité du nombre des bases périodiques ; de manière que, dans le premier cas, on aura $\mathrm {LO-MN=+1,}$ tandis qu’on aura, dans le second, $\mathrm {LO-MN=-1.}$

14. Dans la notation que nous avons employée, il ne faut pas perdre de vue que les lettres, $\epsilon {\text{ et }}\zeta$ désignent toujours l’avant-dernière et la dernière des bases initiales, et que les lettres $e{\text{ et }}f$ , désignent, de même, l’avant-dernière et la dernière des bases périodiques. Ainsi, l’application des notations $(\alpha \epsilon ),(\alpha \zeta ),(\beta \epsilon ),(\beta \zeta ),$ n’aura jamais de difficulté, tant que le nombre des bases ne sera pas au-dessous de quatre.

Dans le cas de trois bases, désignées par les lettres $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ ou $a,b,c,$ on aura :

{\begin{array}{ll}(\alpha \epsilon )=(\alpha \beta ),&\mathrm {(AE)=(AB)} ,\\(\alpha \zeta )=(\alpha \gamma ),&\mathrm {(AF)=(AC)} ,\\(\beta \epsilon )\ =(\beta ),&\mathrm {(BE)=(B)} ,\\(\beta \zeta )\ =(\beta \gamma ),&\mathrm {(BF)=(BC)} ,\end{array}}

Dans le cas de deux bases, désignées par les lettres $\alpha ,\beta ,$ ou $a,b,$ on aura :

{\begin{array}{ll}(\alpha \epsilon )=(\alpha ),&\mathrm {(AE)=(A)} ,\\(\alpha \zeta )=(\alpha \beta ),&\mathrm {(AF)=(AB)} ,\end{array}}